§ 6  流   形

    [n维实流形]  假定M是T2联结空间，M有一个合盖开集族S，对每个开集VS，存在一个拓扑变换fV把V变上一个n维区间，那末称{ fV|VS }为M的一个n维实流形结构，称M是一个n维实流形.

    [局部坐标法]  假定{ fV|VS }是流形M的一个流形结构，那末称每个VS是坐标区域.每个fV 是V里的局部坐标法，对每点xV，

称为x的坐标，实数xk（k=1,××× ,n）称为x的第k个坐标.

    [衔接关系]  假定VS，V'S，V∩V'¹φ ，那末每一点xV∩V'在fV 和fV' 这两个局部坐标法下各有坐标和，它们的关系可表示为

                     （1）

由流形的定义，是把fV（V∩V'）变上fV'（V∩V'）的拓扑变换，称为从局部坐标法fV 到局部坐标法fV' 的衔接关系.

    [微分结构与微分流形]  假定{ fV |VS }是流形M的一个流形结构，是从fV 到fV' 的衔接关系. 的表达式（1）可以改写为方程组

                             （2）

如果（2）中各个函数在fV（V∩V'）里关于实变数x1,×××,xn的1到m各阶偏导数都存在并且连续，那末称是m级可连续微分的.如果每个的各阶偏导数在fV（V∩V'）里都存在（因此都连续），那末称是∞级可连续微分的.如果每个在fV（V∩V'）里解析（即在每点<x10,×××,xn0>（fV（V∩V'））的一个邻域里,( x1,×××,xn)都可以展开成n个实变数的幂级数），那末称是解析的或者ω级可连续微分的.

    如果一个流形结构{ fV|VS }的所有衔接关系都是m级可连续微分的（因此都是可逆m级可连续微分的），那末称它为m级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是∞级可连续微分的，那末称它为∞级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是解析的，那末称它为解析结构.

    假定一个实流形M的一个流形结构{ fV|VS }是m阶微分结构或者∞级微分结构或者实解析结构，那末分别说M是这结构下的m级微分流形或者∞级微分流形或者实解析流形.

    [微分结构的等价]  假定{ fV|VS }是流形M的一个m级微分结构.又假定G是M里的一个开集，f是在G里定义的一个函数.对每一点xG∩V（VS），f（x）可以表示为

f（x）=（）

假定关于这n个实变数的1到k（0km）各阶偏导数都连续，那末称f在G∩V里可k级连续微分.如果f在每个G∩V（VS）里都可k级连续微分，那末称f在G里可k级连续微分，记作fCk（G），由于{ fV|VS }的所有衔接关系都可m级连续微分，并且假设0km，上面这样的定义对任何xV∩V'（VS, V'S）都不会产生矛盾.

    设{ fV|VS }和{ fW|Wπ }是流形M的两个m级微分结构（其中π 也是M的一个合盖开集族）.如果{ fV|VS }∪{ fW|Wπ }是M的一个m级微分结构，那末称{ fV|VS }和{ fW|Wπ }等价.流形M的两个m级微分结构等价的充分必要条件是：对M里任何开集G，它们所决定的各个函数族Ck（G）(k=0，1，×××，m）一致.

    流形M的两个∞级微分结构等价或两个实解析结构等价的概念也可类似地定义.

    [可定向流形]  假定n维实数空间里的一点的一个邻域被一个拓扑变换f变上一点的一个邻域，即f（）=.如果f可逆连续微分，并且雅可比式

                    

那末称f在这一点保持架势.

    如果f不可微分，用差商（见第五章）代替偏导数同样可规定f在一点保持架势.

    假定流形M有一个流形结构，它的任何一个衔接关系都在各自的定义开集里的每一点保持架势，那末称这流形结构是一个定向流形结构，称流形M被它定了向.

    假定{ fV|VS }和{ fW|Wπ }是流形M的两个定向结构，而{ fV|VS }∪{ fW|Wπ }也是M的一个定向结构，那末称它们定的向一致.

    假定{ fV|VS }是流形M的一个定向结构，又假定

                       fV（x）=   xV

那末

gV（x）=  xV

是另一个定向结构{ gV|VS }.显然{ fV|VS }∪{ gV|VS }不再是定向结构.那末称{ fV|VS }和{ gV|VS }定的向相反.

    因此，如果流形M有一个定向结构，那末M有两类定向结构，同一类的结构定的向相同，不同类定的向相反.所以在未指定那一类定向结构的时候，只说有定向结构的流形M是可定向的.

    可以证明，可定向流形的任何一个流形结构只要象上面规定gV那样修改一部分局部坐标法，就可以成为一个定向结构，定的向可以跟这一类定向结构一致，也可以跟另一类的一致.

    因此，一个可定向的微分流形的微分结构虽然不都是定向的，但是每个微分结构等价类中，一定包含两种定向结构，定的向彼此相反.

不可定向的流形最简单的例子是“麦比乌斯（Möbius）带”，它是一个单侧曲面，它的模型可以用下面方法得到，把一个长方形的纸    扭转180°，把两边ad和cb粘起来，a与c重合，b与d重合.

 [复解析流形]  把二维实数空间R2里的点<x1, x2>改记作复数x1+ix2，就得到一维复数空间C1，C1就是R2的普通拓扑当拓扑.R2的普通拓扑可以用二维区间全体当基，也可以用开圆全体当基.在C1里为了记号方便，用后者当基比较常见.一个以复数z0为中心的开圆可以表示为{z|zC1且|z­－z0|<r}，这里半径r是一个正数. n个C1的拓扑乘积称为n维复数空间Cn，Cn的拓扑的一个基是n个C1里的开圆的直接积的全体，n个开圆的直接积称为n重柱.

    在流形的定义中，如果把“n维区间”改作“n重柱”，就成为“复流形”的定义.

    复流形的复解析结构跟实流形的实解析结构同样定义.特别，一维复解析流形称为黎曼面，是复变函数论的一个重要概念（见第十章）.

    [存在定理]

    定理1  有的流形不可能有一级微分结构.

    注意，当mm'1时，由定义，m级微分结构必定是m'级微分结构，所以定理1所说的那种流形一定不可能有任何级的微分结构.

    定理2  第二可数实流形的一个m（m1）级微分结构一定有等价的∞级微分结构（这里等价的意思是当作m级微分结构看）.

    定理3   8维欧氏空间里的球面有不等价的微分结构.

从定理3知道，不等价的微分结构的流形确实存在.至于对球面的微分结构问题本身的认识，现在已经证明了每个的微分结构的不同的等价类的数目dn 等于某个有限群的元素的个数，并且有很多dn已经算出来了，例如

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

dn

1

1

?

1

1

1

28

2

8

6

992

1

3

2

16256

从表上看到，一共有28类微分结构，不同类的不等价. d3，也就是的不等价的微分结构的数目，还没有算出来.

    定理4  第二可数的可定向的二维实流形的任何一个m（1m∞）级微分结构跟一个复解析结构等价（把后者看作m级实微分结构）.