二、 二、 一致空间
[复合关系与逆关系] 假设X是一个集，u和
是X里的两个关系（即是u
X´X，v
X´X）,规定
u
={<x,y>|x
X,y
X，并且存在z
X，使
<x,z>
u并且<z,y>
}
u
当然也是X里的一个关系，称为u和
的复合关系.
再规定
u
-1 ={<x,y>|<y,x>
u}，
那末u -1也是X里的一个关系，称为u的逆关系.
容易证明
（u
）-1= V -1
u -1
[一致空间] 假定X是一个集，U是X里的一个不空的关系族（即U¹φ并且UÍX´X2），并且满足条件：
(i) 若u
U，则对任何x
X,<x,x>
u；
(ii) 若u
U，则存在
U，使
u；
(iii) 若u
U，
则u∩
U；
(iv) 若u
U，u
X´X，则 
U；
(v) 若u
U，则u-1
U .
那末称U为X的一个一致性，<X,U>称为一致空间（有时称X是在U这个一致性下的一致空间）.
把满足条件（i）—（iv）的U称为X的一个拟一致性，对应的<X,U>称为拟一致空间.
如果U和U'是集X的两个一致性，U
U'，那末称U比U'粗，U'比U细.
假定集X里有一个不空的关系族V，满足定义所说条件（i）和（ii），那末X的所有掩盖V的一致性的通集U0也是一个一致性，是能掩盖V的最粗的一致性，称为V所繁殖的一致性，V称为U0的一个亚基*.假定V是一致性U0的亚基，并且对任何u
U0存在
V使
u，那末称V为U0的一个基.
对任何一个集X，由{{<x,x>|x
X}}所繁殖的一致性是最细的一致性.
尺度空间可以看作一致空间的特例：假定X是一个尺度空间，把X里的关系族{{<x,y>|x和y的距离小于γ}|γ是一个正数}所繁殖的一致性称为由X的尺度产生的一致性.通常除特别声明外，一个尺度空间X总是看作在这个一致性下的一致空间.实际上，上面“γ是一个正数”的条件可以改作“γ是一个正有理数”（由于一致性的条件（iv）），所以由尺度产生的一致性一定有可数的基.
[一致拓扑与一致空间的尺度化] 假定<X,U>是一个一致空间.对x
X，u
U，把{y|<x,y>
u}记作u[x]，称为x的一个邻域.由所有这种邻域所繁殖的拓扑称为X的一致拓扑.以后如果不另外声明，一个一致空间X总是看作在一致拓扑下的拓扑空间.
如果在一个一致空间里可以规定一个尺度，由这尺度产生的一致性跟原来的一致性相同，那末称这一致空间是可以尺度化.
一个一致空间可以尺度化的充分必要条件是：它的一致性有可数的基，并且它是T2空间.一个一致空间可以拟尺度化的充分必要条件是：它的一致性有可数的基.
[一致连续与一致同构变换] 假定<X,U>和<Y,V>是两个一致空间，f是一个把X变进Y的变换，如果对任何
V，总存在u
U，使对所有的<x,y>
u,<f（x）,f（y）>
成立，那末称f为一致连续.一致连续必定连续，但是在一致拓扑下连续不一定一致连续.
一个变上的可逆一致连续变换称为一致同构变换.一致同构变换一定是同胚变换，但是反过来说不一定对.
[一致收敛] 假定<Y,V>是一个一致空间，X是一个集，又假定<fp|p
Q>是XY里的一个点网，f
XY ，如果对任何
V，存在一个q
Q使对所有的p>q和所有的x
X，
<fp（x），f（x）>
V
成立，那末称<fp|p
Q>一致收敛于f.
假定<Y,V>是一致空间，X是一个集，那末还可以对XY 规定一个一致收敛的一致性如下：对任何
V，可以得到XY 里的一个关系w
w ={<f,g>|对所有的x
XX，<f（x），g（x）>
成立}.
所有这些w的全体所繁殖的一致性称为XY 的一致收敛的一致性.由这一致性所产生的拓扑称为XY 的一致收敛拓扑.可以看到，XY 里的一个点网一致收敛就是在一致收敛拓扑下收敛的意思.
