七、        七、    基数算术

    [公式]  假定A和B是集，A∩B≠φ，那末规定

card(A)+card(B)=card(Α∪B)

card(A)card(B)=card(AB)

card(B)^card(Α)=card(^AB)

    基数的加法和乘法都是可以交换的.

    定理

                          

    推论

1°       1°        （n为正整数）

2°       2° 

3°       3° 

    [几个特殊数集*的基数计算]

1°       1°  所有整数全体的基数等于.这是因为

card（所有整数全体）=card（所有正整数全体）

+card（所有负整数全体）+card（{0}）

                             =

2°  2°  所有有理数全体的基数等于.因为每个有理数是一对整数的商，所以所有有理数全体的基数不超过所有整数对全体的基数，所以所有有理数全体的基数不超过.但是整数可以看作有理数的特例，这基数又不小于.所以所有有理数全体的基数等于.

3°       3°  所有无理数全体的基数等于.否则所有实数全体的基数不会等于.

4°       4°  所有实代数数（整系数代数方程的根）全体的基数等于.这是因为只有可数无限多个不同的整系数代数方程，而每个方程只有有限个根.

5°       5°  所有实超越数（不是代数数的实数）全体的基数等于.

6°       6°  复数全体的基数等于.这是因为一个复数是一个实数对.

    [康托三分集]  把闭区间[0，1]里的所有实数表示成三进位无限小数*.各位数字都不是1的那些三进位无限小数全体记作T，那末T称为康托三分集.从几何上看，把T₀=[0，1]等分成三段，去掉中间一段，剩下的部分[0，]∪[，1]记作T₁.又把[0，]和[，1]各等分为三段，去掉中间一段，剩下的部分记作T₂.继续下去得到一个集族{ T_n|nω}，这族集的通集就是.

    把T里每个数用2除，就得二进位无限小数全体，因此card（T）=.

7°        

 

 * 这段中的数集的数都是按通常意义下定义的，见第一章，§1，一.