五、        五、    序数算术

    利用超限归纳法规定序数的算术如下：

    [加法]  α+0=α，α+β=sup{α+γ|γ<β}

    [乘法]  α0=0,α(β+1)=αβ+α,αβ=sup{αγ|γ<β}

    [方幂]  α⁰=1, α^β+1=α^βα, α^β=sup{α^γ|γ<β}

    注意，以上假设β是极限序数，加法和乘法都是不可交换的.例如

                  1+ω=sup{1+n|n<ω}=ω<ω+1

                     2ω=sup{2n|n<ω}=ω

但是ω2=ω(1+1)=ω+ω>ω.

    [除法]  假定α和β是序数，β>0，那末存在唯一的序数x 和唯一的序数h ，h <β,使

                           α=βx +h

α为极限序数的充分必要条件是：α=ωx ,这里x 由α唯一决定；而α为有限序数的充分必要条件是α=ωx +n，这里x 和正整数n都由α唯一决定.