§4     数论函数

    对任一正整数n有确定值的函数f(n)称为数论函数.

    [积性函数与完全积性函数]  若(m,n)=1,有f(mn)=f(m)f(n),则称数论函数f(n)为积性函数.若对任意正整数m,n都有f(mn)=f(m)f(n),则称f(n)为完全积性函数.

    积性函数具有下列性质:

    1°  若f(n)为非零积性函数,则f(1)=1.

    2°  若g(n),h(n)都为积性函数,则g(n)h(n)仍为积性函数.且

也为积性函数,这里å是对n的所有不同因数d求和.

    3°  若g(n)为非零积性函数,且,则

也为积性函数.

    4°  若f(n)为积性函数,则

f([m,n])f((m,n))=f(m)f(n)

式中(m,n)为m,n的最大公因数,[m,n]为m,n的最小公倍数.

    [麦比乌斯函数]  函数

称为麦比乌斯函数.

  麦比乌斯函数具有下列性质:

    1° 

    2°  μ(n)为积性函数,但非完全积性函数.

    3°  设,若f(n)为积性函数,则

也为积性函数.例如

    [欧拉函数]  设n为自然数,(n)为不超过n且与n互素的正整数的个数,称为欧拉函数.

    欧拉函数具有下列性质:

    1°   (n)为积性函数,但非完全积性函数.

    2°  若,则

特别,当p为素数时,

    3° 

    4° 

    [除数函数]  自然数n的全部因数的个数称为除数函数,记作d(n).除数函数具有下列性质:

    1°  d(n) 为积性函数,但非完全积性函数,对任意自然数m,n,常有

    2°  若,则

    [冯·曼哥特函数]  函数

L (n)

称为冯·曼哥特函数.L (n)非积性函数.

    [麦比乌斯反转公式与麦比乌斯变换]

    1°  反转公式一  设,又设h(k)为一非零完全积性函数.若对所有适合于的h常有

则对上述h也常有

反之也真.

    2°  反转公式二  设,又设H(k)为一非零完全积性函数.若对所有适合于的x 常有

则对上述x 也常有

反之也真.

    3°  反转公式三  设为一正整数, 又设h(k)为一非零完全积性函数.若对所有常有

则对上述n也常有

反之也真.

    4°  麦比乌斯变换  设n为正整数,若

则

g(n)称为f(n)的麦比乌斯变换,f(n)称为g(n)的麦比乌斯逆变换.

    5°  乘积麦比乌斯变换  设n为正整数,若

则

g(n)称为f(n)的乘积麦比乌斯变换,f(n)称为g(n)的乘积麦比乌斯逆变换.

    [麦比乌斯变换表]

                                                          

g(n)	f(n)
	d(n)
1
d(n)	1
n
	n
L (n)	-logn
logn	L (n)