2、一元线性回归

[一元回归方程]  自变量x与变量y对应的观测值为

如果变量间存在着线性关系，则可用直线

来拟合它们之间的变化关系。由最小二乘法，a,b应使

最小值

得

式中

   

   

方程称为回归方程（或回归直线），b称为回归系数。

[相关系数及其检验表]  相关系数r_xy反映了变量x和y之间的线性关系的密切程度，它是用下式定义

其中

（在不致误会时，r_{x y}简记为r）。显然。当时，称为完全线性相关；当时，称全无线性相关；当越接近1，线性相关越大。

   下表给出相关系数的起码值（它与观测次数n及所给信度有关），当大于表中相应的值，所配的直线才有意义。

N—2	=5%	=1%	n-2	=5%	=1%	n-2	=5%	=1%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 0.553 0.532 0.514 0.497 0.482	1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708 0.684 0.661 0.641 0.623 0.606	16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	0.468 0.456 0.444 0.433 0.423 0.413 0.404 0.396 0.388 0.381 0.374 0.367 0.361 0.355 0.349	0.590 0.575 0.561 0.549 0.537 0.526 0.515 0.506 0.496 0.487 0.478 0.470 0.463 0.456 0.449	35 40 45 50 60 70 80 90 100 125 150 200 300 400 1000	0.325 0.304 0.288 0.273 0.250 0.232 0.217 0.205 0.195 0.174 0.159 0.138 0.113 0.098 0.062	0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254 0.228 0.208 0.181 0.148 0.128 0.081

   注意，当观测次数n很大时 ，相关系数可用下述方法近似求得：将观测数对(x_i , y_i) (i=1,2,···,n)描在坐标纸上，先作一水平直线使位在直线的上下点数相等，再作一垂直线使左右点数相等，这两条直线（尽量使两直线上没有点）将平面分成四块（图16.5）设落在右上方,左上方,左下方,右下方的点数分别为n₁ ,n₂ ,n₃ , n₄,设

n₊=n₁+n₃       =n₂+n₄

 

那末相关系数近似为                                                                        

[剩余标准差]

      

称为剩余标准差,它描述回归直线的精度:对于试验范围的每个x,有95.4%的y值落在两条平行直线

  

之间(图16.6);有99.7%的y值落在两条平行直线

 

之间.

 

[一元回归计算步骤]       为了方便计算,将lxx,lyy ,lxy改写成                                                                                     

并将数据整数化.即令

  

    经整数化后,有

             ,  

                

于是列表计算如下:

序号
1   2     n
记号				=	= -	= -	= -
		计 算 结 果	回归系数  常数项    回归方程  相关系数  剩余标准差

[一元线性回归的方差分析]  将自变量x看作单因素,对每个x_i(i=1,2,···,n)作k次重复试验得到数据y_ij(i=1,2,···,n; j=1,2,···,k),记录如下:

	yij
x1               x2          xn	y11  y12  ···  y1k y21  y22  ···  y2k      ···  yn1  yn2  ···  ynk

按照数对求出回归方程      

y的总平方和为

        

记作

                 

上述右边的S_回称为回归平方和,它是由于x的变化使y也随之变化而引起的;S_误称为误差平方和,它是由试验误差引起的;S_余称为剩余平方和,它是由其他随机因素或回归直线配得不适当而引起的.

   同单因素方差分析类似,作一元线性回归方差分析表如下: 

方差来源	平方和	自由度	均     方	统计量	置信限	统计推断
回归   剩余   误差	S回   S余   S误	k   n   n	s回			当时，认为影响不显著； 当时，认为影响显著
总平方和	S总	nk

   检验时，若影响不显著，则表明剩余平方和基本上是试验误差等随机因素引起的；若影响显著，则表明可能存在另外不可忽略的因素，或者x与y不是直线相关，或者x与y无关。这时求出的回归直线不能刻划x与y之间的关系，需进一步查明原因，重新配线。

   检验时，若影响显著，则表明x与y之间有线性关系；若影响不显著，则需重新配线。

   S_总,S_回,S_余,和S_误按下列公式计算（可先将数据整数化, ：

S_总=

S_回=

S_余=

S_误= S_总回余

式中