三、随机变量的数字特征

[数学期望（均值）与方差]  随机变量的数学期望（或均值）记作E（或M），它描述了随机变量的取值中心。随机变量()²的数学期望称为的方差，记作D（或Var），而D的平方根称为的均方差（或标准差），记作=。它们描述了随机变量的可能取值与均值的偏差的疏密程度。

   1^°  若是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，分布函数为F(x)，则（当积分绝对收敛时）

E=

D=

  2^°   若是离散型随机变量，其可能取值为x_k , k=1,2,···，且P(=x_k)=p_k，则（当级数是绝对收敛时）

E

D=p_k

[均值与方差的几个公式]

   1 ^°  D=E²-(E)²

   2^°    Ea=a , Da=0 （a为常数）

   3^°   E(c)=cE , D(c)=c²D（c为常数）

   4^°   E(

   5^°  若₁ , ₂  ,···, _n为互相独立的n个随机变量，则

                  E(₁+₂+···+_n)=E₁+E₂+···+E_n

                  D(₁+₂+···+_n)=

   6^°  若₁ , ₂  ,···, _n为互相独立的n个随机变量,则

              E(₁₂···_n)=(E₁)(E₂)···(E_n)

              D(₁+₂+···+_n)=D₁+D₂+···+D_n

   7^°  若₁ , ₂  ,···, _n为互相独立的随机变量，且=0, D_k=(k=1,2,···,n)则随机变量的均值与方差分别为

                      

[契贝谢夫不等式]  对任一给定的正数，有

[条件数学期望与全数学期望公式]  设F(x|B)是随机变量对事件B的条件分布函数，则

称为（当积分绝对收敛时）对事件B的条件数学期望。若是连续型随机变量，其条件分布密度为p(x|B)，则

若是离散型随机变量，其可能取值为x₁  , x₂  ,···，则

若B₁ , B₂  ,···,B_n是两两互斥的事件完备组，则有全数学期望公式

[中位数、众数与均值的关系]  满足

P(,    P(

的数m称为随机变量的中位数。换句话说，m满足下面两式：

P(

P(

   使分布密度函数取值为最大，即

p()=极大值

的称为随机变量的众数。

   对于单峰对称分布函数，m==（均值）

   对于非对称单峰分布函数，m位于与之间。

[高阶原点矩与中心矩]  当r，随机变量和(的数学期望（假设存在）分别称为随机变量的r阶原点矩和r阶中心矩，分别记作和。特别，为均值，为方差。

   1^°  若是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，则

   2^°  若是离散型随机变量，其可能取值为x_k  (k=1,2,···),且P(=x_k)=p_k ，则

   3^°  当r，随机变量和的数学期望（假设存在）分别称为随机变量的r阶绝对原点矩和r阶绝对中心矩。且有类似公式与1^°,2^°对应。

   4^°   原点矩和中心矩满足如下关系（r是正整数）；

 式中为二项系数。

[协方差与相关系数]  设随机变量和的均值和方差都存在，则和的协方差或Cov(为

=E[(

 和的相关系数为

=