二、随机变量与分布函数

[随机变量及其概率分布函数]  每次试验的结果可以用一个变量的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用,···表示。它是随机现象的数量比。

    给定随机变量，它的取值不超过实数x的事件的概率P(x)是x的函数，称为的概率分布函数，简称分布函数，记作F(x) ，即

                 F(x)=P(  (

[分布函数的基本性质]

      1^°  _,

      2^°   若x₁<x₂，则F(x₁)F(x₂)  （单调性）

      3^°  F(x+0)=F(x)            （右连续性）

      4^°  P(a<=F(b)(a)

      5^°  P(=F(a)0)

[离散分布与概率分布列]  如果随机变量只能取有限个或可列个数值x₁ , x₂ ,···, x_n ，···，就称为离散型随机变量。若记P()=p_k    (k=1,2,···)，则取值的概率分布由{p_k}完全确定。称{p_k}为的概率分布列。{p_k}有以下性质：

   1^°  

   2^°  =1

   3^° 设D为实数轴上任一可测集，则P(

   4^° 的分布函数

                 F(x)=

是在处有跳跃的阶梯函数。

[连续分布与分布密度函数]  如果随机变量的分布函数F(x)能够表示为

                F(x)=  （p (x)非负）

就称是连续型随机变量。p(x)称为的分布密度函数（或分布密度）。分布密度函数具有以下性质：

   1^°  p(x)=

   2^° 

   3^°  若p (x)是连续型随机变量的分布密度，则对实数轴上的任一可测集D，有

                                     

[随机变量的函数的分布]  如果随机变量是随机变量的函数

                        

设随机变量的分布函数为F(x)，则的分布函数G(x)为

                     G(x)=

特别，当是离散型随机变量时，其可能值为x₁ , x₂，···,且P，则

                     G(x)=   

当是连续型随机变量时 ，其分布密度为p(x)，则

                     G(x)=  

[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]  如果···,联系于同一组条件下的n个随机变量，则称···,)为n维随机变量或随机矢量。

    若(x₁ , x₂ ,···，x_n)是n维实数空间Rⁿ上的一点，则事件"···,_"的概率

          

作为x₁ , x₂ ,···, x_n的函数，称为随机矢量···,的联合分布函数。

    设(···,是(···,中任意取出m(mn)个分量构成的m维随机变量，则称(···,的联合分布函数为(···,的m维边缘分布函数。

    这时，如果分别记(···,与(···,的分布函数为F(x₁,x₂,···,x_n)与，那末

            =F(···,x,···, ,···,x,···,)

[条件分布函数与独立性]  设是一随机变量，事件B满足P(B)>0，则称

                       F(x|B)=P (x|B)

为在事件B已发生的条件下的条件分布函数。

   1^° 设(,是二维离散型随机变量，和的可能取值分别为x_i (i=1,2,···)和y_k (k=1,2,···).又记(,的联合分布为

                            P(= p_ik

两个一维边缘分布为

                        P(=_·=   (i=1,2,···)

                        P(==   

则称

                        P(|)=  

为在条件下离散型随机变量的条件分布。类似的，称

                        P(|)=  (>0, k=1,2,···)

为在条件下离散型随机变量的条件分布。

2^°  设()是二维连续型随机变量，其联合分布密度是f(x,y)，在点y ,则称

                 

为在=y条件下的条件分布函数，在点x，则称

                       

为在条件下的条件分布函数。

3^°  如果(···,的联合分布函数等于所有一维边缘分布函数的乘积，即

                  F(x₁ , x₂ ,···, x_n)=

（它相当于P(,···,x_n)=那末称,···,是相互独立的。