二、具有柯西核和希尔伯特核的积分方程
[柯西核与希尔伯特核]
定理 设L是任一光滑闭曲线，
是定义在L 上且满足具有指数a 
的李普希茨条件*的一个函数，当z从L的内部趋于L上任一点t时，则柯西型积分
（1）
趋于极限值
当z从L的外部趋于L上任一点t时，积分（1）趋于相应的极限值
上面两个等式中的积分都是广义积分
表达式
称为柯西核，式中ζ和t是L上的任意两点。
表达式
称为希尔伯特核，式中s和σ都是实变量，并在闭区间
内变动。
柯西核和希尔伯特核之间有很简单的关系。设L是一简单闭曲线，它是有连续曲率的一条光滑曲线。设L的参数方程是
，
设相应的参数s在闭区间
内变动。令t=x+iy和t=x(s)+iy(s)。L的方程可写作t=t(s)。设ζ是L上任一点，则有一参数值σ，使
。于是不难证明：
式中P(s,σ)是两个变量s 和σ的连续函数，这函数满足具有某指数的李普希茨条件。
[具有希尔伯特核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程:
(2)
式中a和b是常数。
假定核K(s,σ)和自由项F（s）都满足李普希茨条件。
如果K(s,σ)≡0，则所考虑的方程是
(3)
若a2+b2≠0,则这个方程的解是
(4)
若a2+b2=0,则方程一般没有解。
注意特殊情况a=0.不防设b=1,则（3）变为第一类Fr方程
这时，（4）式的解没有用，但方程（3）有解的充分必要条件是:
解的形式是
式中C是任意常数。
在一般情形下，可以证明方程（2）与一般形式的Fr方程等价，于是所考虑的方程归结到解Fr方程。
具有希尔伯特核的奇异积分方程的一般形式是
式中a(s)和b(s)是变量s的函数。若a(s)和b(s)满足李普希茨条件，上式可化为Fr方程，但是二者可能不等价。
[具有柯西核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程：
（5）
式中a和b是常数，L是闭曲线。
若a2-b2≠0,则（5）的解为
具有柯西核的奇异积分方程的一般形式是
它也可化为Fr方程。若a和b是常数，则得到的Fr方程与上面方程等价。在一般情形下需加补充说明。