四、希尔伯特-施密特的理论

当齐次Fr方程的核K(x,ξ)不可分离，特别，K(x,ξ)对于x>ξ和x<ξ,分别由不同的分析表达式给定时，其特征值一般有无穷多个λ_n(n=1,2,L),每个特征值对应的特征函数除一个乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值l_k可以对应于两个或更多个独立的特征函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。

[具有对称核的Fr方程的性质]  如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个核就叫做对称核。

1° 具有对称核的齐次Fr方程的特征函数系是正交的。

2° 具有实对称核的Fr方程的特征值都是实数。

注意，核不对称的Fr方程可以具有虚的特征值。

[希尔伯特-施密特定理]  设Φ为一平方可积函数，则形如

的函数f(x),可由对称核齐次Fr方程

在[a,b]上的特征函数y₁(x), y₂(x),L的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的无穷级数在区间[a,b]上绝对且一致收敛。

[施密特公式]  考虑非齐次第二类Fr方程

式中K(x,x)是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k₀(a≤x≤b，a≤ξ≤b）上是两变量x,ξ的连续函数,F(x)是已知的一致连续函数，y(x)是未知函数，而λ是参数，则有施密特公式

         （λ≠λ_n ，即λ不是特征值）                 (1)

右边的级数是绝对且一致收敛的，式中F_n由下式决定：

                 （n=1,2,L）                     (2)

[核的展开定理]  一个对称核K(x,x)可展开为级数

                           

这个级数对任意固定的x，有

                  

    [具有非对称核的积分方程]  设核K(x,x )不是对称的，但可表为如下形式

K(x,x )=r(x )G(x,x )

式中r(x )在（a,b）内连续且不变号，而G(x,x )是对称的，这时有以下性质：

1°  对应于不同特征值l _m和l _n的两个特征函数y_m(x)和y_n(x)在[a,b]上关于权函数r(x)是正交的，即

2°  K(x,x )的特征值都是实数。

3°  若非齐次第二类Fr方程有一个解，则这个解由(1)给出，并以权函数r(x)去乘(2)式两边所包含的被积函数。

[具有埃尔米特核的积分方程]  设核K(x,x )为一复核，如果

则称K(x,x )为埃尔米特核，式中表示K(x,x )的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方程有以下性质：

1°  对应于不同特征值l _m和l _n的两个特征函数y_m(x)和y_n(x)在[a,b]上是按埃尔米特意义正交的：

                     

2°  在[a,b]上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。

3°  设特征函数按埃尔米特意义是标准化的：

                  

如果非齐次第二类Fr方程有一个解，那末这个解由(1)给出，并且(2)式改为

     （n=1,2,L）

[具有反对称核的积分方程]  设K(x,x )满足条件

K(x ,x)=-K(x,x )

则称K(x,x )为反对称核，这时iK(x,x )是埃尔米特核。因此，具有反对称核的积分方程

如果以lii代替l，则得到具有埃尔米特核的积分方程

由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。

[伴随核与自伴随核]  设u(x)是一复核K(x,x )(它不一定是埃尔米特核)对应于特征值l 的一个特征函数，v(x)是核对应于特征值m 的一个特征函数，若，则

这里称为K(x,x )的伴随核。如果= K(x,x )，那么K(x,x )称为自伴随核，显然实对称核与埃尔米特核都是自伴随核。