四、基本解与广义解

    [共轭微分算子与自共轭微分算子]  算子

称为二阶线性微分算子，式中a_ij,b_i,c为x₁,x₂,…,x_n的二次连续可微函数.由公式

决定的算子L*称为L的共轭微分算子.如果L=L*，则称L为自共轭微分算子.

    [格林公式]

    1°  算子L的格林公式是

式中S为区域D的边界，N为S的外法线矢量，e_i为x_i的轴的矢量

(0,…,0,,0,…,0),

cos(N,e_i)表示矢量N与e_i的夹角的余弦，

    2°  三维拉普拉斯算子的格林公式

其中是外法向导数.

    3°  算子

的格林公式

式中L*为L的共轭微分算子，N为外法线矢量，i,j分别为x轴，y轴上的单位矢量.

    [基本解]

    1°  方程Lu=f的基本解：

    设M,M₀为Eⁿ中的点，满足方程

的解U(M,M₀)称为方程Lu=f的基本解，有时也称为方程Lu=0的基本解，式中(M-M₀)称为n维狄拉克函数（-函数）.

    基本解U(M,M₀)满足

    (i)     LU(M,M₀)=0，当M≠M_0，

    (ii)    对任意充分光滑的函数f(M)，

于是U(M,M₀)满足Lu=f(M) .

    所以有时也就把满足条件(i)、(ii)的函数U(M,M₀)定义为方程Lu=f(M)的基本解.

     (a) Δu=0的基本解

    二维：                 

    三维：                 

    n维：                  

式中表示点M与M₀之间的距离.

    (b)  n维空间的多重调和方程^mu=0的基本解

    (c)  热传导方程的基本解

    (d)  波动方程的基本解

    一维：

    二维：

三维：

    2°  柯西问题的基本解

    (i)   称满足

的解为波动方程柯西问题的基本解，它的形式为

    一维：

    二维：

    三维：

    (ii)  称满足

的解为热传导方程柯西问题的基本解，它的形式是

    同样方法可以定义其他定解问题的基本解.

    由定义可见，基本解表示由集中量（如点热源，点电荷等）所产生的解，下段介绍的格林函数，黎曼函数也具有这种特点，统称它们为点源函数，或影响函数.

    [广义解]  在区域D中给定二阶线性方程

式中f在D上连续.

    1°  设u_n(x)为D上充分光滑（如二阶连续可微）的函数序列，当n→∞时，u_n(x)一致（或在适当意义下）收敛于函数u(x)，同时Lu_n也一致（或在适当意义下）收敛于f(x)，则称u(x)为Lu=f的广义解.

    2°  设函数u(x)在区域D内连续，如果对于任意二次连续可微且在与D的边界距离小于某一正数的点上恒等于零的函数（与无关，称为D的试验函数）有

那末称u(x)为方程Lu=f的广义解.

    有时为了区别广义解，称以前定义的解为古典解，古典解一定是广义解.但因广义解不一定光滑，甚至不可微，所以不一定是古典解.

    例如，当(x)，(x)只是x的连续函数时，函数

u(x,t)=(x+t)－(x－t)

为波动方程

的广义解，但不是古典解.