3.    拉普拉斯方程

    研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程，通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程

Δu=0

及泊松方程

Δu=ρ

式中ρ为已知函数，Δ为拉普拉斯算子，

    [圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分]  当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,)或球坐标(r,θ,)较为方便.

    Δu=0的极坐标形式为

    Δu=0的球坐标形式为

    狄利克莱问题解的泊松积分为

    1°  区域是圆时，Δu=0, u|_r=a=，解为泊松积分

式中为已知连续函数,.

    2°  区域是球时，Δu=0, u|_r=a=，解为泊松积分

式中为已知连续函数，

    [调和函数的性质]  二维拉普拉斯方程的连续解称为调和函数，它具有以下重要性质：

    1°  设函数u(x,y)在以S为边界的有界区域D内调和，在上有连续一阶偏导数，则

式中为外法向导数.

    2°  算术平均值定理  设函数u(x,y)在圆的内部调和，在闭圆上连续，则u(x,y)在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值.

    3°  每一个调和函数u(x,y)对x,y无穷次可微.

    4°  哈拉克第一定理（一致收敛定理）  设{u_k(x,y)}, (k=1,2)在有界区域D内调和，在上连续，如果u_k(x,y)在D的边界上一致收敛，则在D内也一致收敛，并且极限函数在D内调和.

    5°  哈拉克第二定理（单调性定理）  设调和函数列{u_k(x,y)}, (k=1,2,…)在D的某一内点收敛，且对于任意k，

u_k+1(x,y)≥u_k(x,y)

则u_k(x,y) 在D内处处收敛于某调和函数，同时在D的每一有界闭子区域上一致收敛.

    6°  刘维尔定理  如函数u(x,y)在全平面上调和且不是常数，则它不可能有上界和下界.

    7°  可去奇点定理  设u(x,y)在A点的一个邻域（除A点外）调和且有界，但在A点没有定义，则可定义函数u(x,y)在A点的值，使u在整个A点的邻域（包括A点）内是调和函数.

    [李雅普诺夫闭曲面与内、外边值问题]  设S为Eⁿ的有限闭曲面，如果满足下列条件，那末S称为李雅普诺夫闭曲面：

    (i)   曲面到处有切面.

    (ii)  存在常数d>0，对曲面上每一点P，可作一个以P为中心、d为半径的球，使曲面在此球内的部分和任意一条与P点法线平行的直线相交不多于一点

    (iii) 曲面上任意二点P₁及P₂的法线的夹角γ(P₁,P₂)满足

式中A,δ为正常数，0<δ≤1，是点P₁与P₂之间的距离.

    (iv) 从空间任意一点P₀看曲面的任一部分σ的立体角有界，即

||≤k （k为常数）

（从点P₀看曲面S的立体角为

式中表示矢量 ，N_P表示S在点P的外法线矢量，dS_P表示点P的面积元素.）

设D为Eⁿ的有界区域，其边界S为李雅普诺夫闭曲面.求在D内满足

Δu=0

而在S 上满足给定边界条件的解称为内边值问题；求在D外满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为外边值问题.

    [狄利克莱问题与诺伊曼问题的解]

    狄利克莱问题             Δu=0，

    诺伊曼问题               Δu=0，

式中M_S∈S，为S上的已知连续函数，为外法向导数.

    1°  狄利克莱问题的解可表示为面积分

.

式中v(P)称为面密度，面积分u(M)称为双层位势，r_PM为点M与变点P之间的距离，r_PM为矢量 ，N_P为S在点P的外法线矢量，v(M)满足第二类弗雷德霍姆积分方程(第十五章§1)：

    (i)   内边值问题

    (ii)  外边值问题

    2°  诺伊曼问题的解可表示为面积分

式中(P)称为面密度，面积分u(M)称为单层位势，(P)满足第二类弗雷德霍姆积分方程：

    (i)   内边值问题

    (ii)  外边值问题

    定理： 狄利克莱的内外边值问题及诺伊曼的外边值问题有惟一解，而诺伊曼的内边值问题解存在的充分必要条件是：

    [泊松方程]  在区域D内，泊松方程Δu=ρ（ρ为已知连续函数）有特解：

    三维： 体势位

    二维： 对数势位

式中r_PM为点M与变点P之间的距离.

    如果已知泊松方程的一个特解U(M)，则=u－U满足Δ=0，从而泊松方程的边值问题可化为拉普拉斯方程相应的边值问题.