§3 二阶偏微分方程
一、 一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程
考虑二阶偏微分方程
(1)
式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.
[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]
代数方程
称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某些参数，且有
.如果点x°=(x1°,x2°,…,xn°)满足特征方程，即
则过x°的平面
的法线方向l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n
)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n
)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.
[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1°,x2°,…,xn°)，根据二次型
(ai为参量)
的特征根的符号，可将方程分为四类：
(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.
(ii) 特征根都不为零，有n
个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.
(iii) 特征根都不为零，有
个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.
(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.
若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.
在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：
椭圆型：
双曲型：
超双曲型：
抛物型：
式中Φ为不包含二阶导数的项.
[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为
(2)
a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.
方程
a11dy2
a12dxdy+a22dx2=0
称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.
在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类：
当Δ>0时，方程为双曲型；
当Δ=0时，方程为抛物型；
当Δ<0时，方程为椭圆型.
在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：
（i）
（i） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线
，
，作变换
，
和
方程化为标准形式
或
（ii）
（ii） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线
，取二次连续可微函数
，使
，作变换
，
，方程化为标准形式
（iii） （iii） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设
为
的积分，
不同时为零，作变量替换
，
,方程化为标准形式
