1. 一阶齐次线性方程
[特征方程 特征曲线 初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程
(1)
式中ai为连续可微函数,在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组
( i =
1,2
n
)
或
(2)
称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l: xi = xi (t) ( i=1,2n )满足特征方程(2),就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.
如果函数
( x1 , x2
xn )在特征曲线
上等于常数,即
( x1(t) , x2(t)
xn(t) ) = c
就称函数 ( x1, x2
xn )为特征方程(2)的初积分(首次积分).
[齐次方程的通解]
1o 连续可微函数u
= ( x1, x2
xn )
是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是:
( x1, x2
xn )是这个方程的特征方程的初积分.
2o 设i ( x1 , x2
xn ) ( i = 1,2
n
) 是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D内的每一点,矩阵
的秩为n)
,则
u = (
1 ( x1 , x2
xn )
n-1 ( x1 , x2
xn ) )
是一阶齐次线性方程(1)的通解,其中为n
个变量的任意连续可微函数.
[柯西问题] 考虑方程的柯西问题
式中 ( x2
xn )为已知的连续可微函数.
设i ( x1 , x2
xn ) ( i = 1,2
n
) 为特征方程的任意n
个相互独立的初积分,引入参变量
(
),从方程组
解出x2 xn 得
则柯西问题的解为
u = (
2 (
1 ,
2
n-1 )
n (
1 ,
2
n-1 ) )