四、 小参数法

    当微分方程含有绝对值很小的参数ε时，将解写成ε的幂级数以求得近似解析解的方法，称为小参数法.下面就常微分方程初值问题作简略介绍.

    给定微分方程组

                               (1)

假设所有作为t的函数是充分光滑的，作为的函数是解析的，并且在 ε=0可以展开成ε的幂级数

系数又都是x₁,…,x_n的解析函数.

    又给定初始条件

t=t0时，xi=xi(ε)=xi(0) +εxi(1) +…                           (2)

于是方程组(1)的满足初始条件(2)的解在t与ε的某区域上存在，并且可以展开成ε 的幂级数

                            (3)

而(3)的任何部分和便是(1)的满足(2)的近似解析解.在具体计算时，只需把级数(3)代入(1)，把两边化为ε的幂级数形状，再比较系数.

    例  求包含小参数ε的黎卡提方程

满足初始条件

t=0, x=0

的解.

    解  设

代入上述微分方程，得

即

令两边ε的同次幂系数相等，得到

另外初始条件可改写为

于是又可列出

求出

而

是所求解的近似表达式（即近似解析解）.