三、奇解及其求法

    [微分方程的奇解]  微分方程的一族积分曲线（通解）的包络，称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解，同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线，即在奇解上的每一点，方程的解不是唯一的.

    [c-判别曲线法]  设一阶微分方程的通解为，其中c是任意常数，把c看成参数.从下面方程组

中消去c而得到的所有曲线，都称为曲线族的c-判别曲线，其中包含着曲线族的包络.但应注意c-判别曲线不一定都是曲线族的包络，还要作实际检验.

    例  求一阶微分方程

的通解和奇解.

    解  把方程写成

令y'=p.方程两边对p求导，得

于是有

即

代入原方程，得通解

从

中消去c，得c-判别曲线y=x和.直接代入原方程可知y=x不是已知方程的解，所以不是奇解，而是奇解.

    [p-判别曲线法]  对于一阶微分方程，令，那末方程的奇解一定包含在下面方程组

消去p 后得到的曲线（称为p -判别曲线）中.至于p -判别曲线是否是奇解，也需要实际检验.

    例  求微分方程

的奇解.

    解  从

中消去p得p-判别曲线 ，即y=.代入原方程知y=是奇解.