4、 黎曼面·支点与支线

    [n值函数的黎曼面]  有n个分支：

                 

的各个分支把除去正实轴的z平面相应地单值映射到下面各个扇形区域：

                     

所以，除去正实轴的z平面上的任一点在平面上的象点都有n个，这时，假设原来z平面上同一位置的z点，可以区别成n个不同的点，它们分别落在n叶沿正实轴剪开的z平面上：

             

至于正实轴上的点，只要把T₀的下岸（）与T₁的上岸相粘接，再把T₁的下岸与T₂的上岸相粘接，……，最后把的下岸（）与T₀的上岸（）相粘接，于是正实轴上的任一点也可以区分成个点了.这样相互粘接的叶沿正实轴剪开的平面，称它是的黎曼面，图10.2是n=4的情况。在它的黎曼面上是单值的了 .

    处是特殊的情况，它连接n叶平面.称它是n-1阶支点，也是阶支点.连接两个支点和的正实轴称为支线.

    [多值函数的黎曼面]  函数有无穷多分支：

          

与的黎曼面的想法类似，的黎曼面是由无穷多叶沿正实轴剪开的z平面粘接而成，图10.3   是它的示意图.

    函数在它的黎曼面上是单值的了.

    和都是的无穷阶支点.

    一般地，如果函数在区域D内不是单值的，可将区域的概念推广，使在新的区域内，函数变成单值的.这种推广了的区域，称为函数的黎曼面.