二、线性变换的运算

[线性变换的和与数乘]  从空间V到空间的线性变换的集，记作

设，按照下列公式定义:

这两个新的变换都是线性的，并且

分别称为线性变换的和与数乘.

按上面定义的线性变换的和与数乘，集组成F上的线性空间. 它的维数等于V和的维数n和m的积.

    [线性变换的乘积]  设为三个线性空间，若，则定义

显然是从的线性变换，称为线性变换的乘积.

    线性变换的乘积满足：

    1^o分配律  若则

    2^o结合律  若.

    [幂等变换]  如果L是线性空间V到自身的线性变换，满足等式

那末称L为幂等变换.

    [同构与自同构]  若线性变换是一对一的，则称L是同构，或称L是正则的. V到自身的一个同构称为自同构. 若V到自身的线性变换不是自同构，则称它为奇异线性变换，否则就称为非奇异线性变换（或正则自同态）.

    同构有以下性质：

    1^o是一个同构的充分必要条件是：

    2^o若L和M是同构的，，则

特别，对自同构，上式也成立.

    3^o域F上线性空间V的一切自同构所成的集G在乘法之下构成一个群. 称G为V的线性变换群，记作，其中n为V的维数.

    4^o域F上线性空间V的一切线性变换（自同态）所成的集R在加法和乘法之下构成一个环，称R为A的线性变换环.