三、 三、 曲线积分、曲面积分与体积导数
[矢量的曲线积分及其计算公式]
矢量场r(r)沿曲线
的曲线积分定义为
r(r)·dr＝
r(
)·
ri-1
式中
ri-1=ri－ri-1，右边极限与
的选择无关，曲线
由A到B(图8.13)
若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是
连续函数), 曲线
也是连续的, 且有连续转动的
切线, 则曲线积分
存在.
若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝
就等于把
一质点沿着G 移动时力Ｒ所作的功.
矢量曲线积分的计算公式如下：
＝
=
＋
(图8.14)
=－
=
＋
=k
(k为常数)
[矢量的环流] 如果G为一闭曲线，则沿曲线G 的曲线积分
＝
称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线G 的环流.
势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为
时，则曲线积分
=
＝
(B)－
(A)
与连接A，B两点的路径无关，只依赖于A，B两点的
位置(图8.15).
[矢量的曲面积分] 设S为一曲面，令N＝
表示在曲面S上一点的法线单位矢量,V而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设
(r)=
(x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函数，R(r)=(X(x, y,z),Y(x,
y,z), Z(x, y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三种形式：
1
标量场的通量(或流量)
dS=
dydz i＋
dzdx
j＋
dxdy
k
式中Syz，Szx，Sxy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，
Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下：当从ｚ轴正方
向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sxy为正，如果
看到的是曲面的反面，则认为Sxy为负(图8.16).
2
矢量场的标通量
R·dS=
Xdydz＋
Ydzdx＋
Zdxdy
式中Syz等的意义同1
.
3
矢量场的矢通量
R×dS＝
(Zj－Yk)dydz＋
(Xk－Zi)dzdx＋
(Yi－Xj)dxdy
式中Syz等的意义同1
.
[矢量的体积导数] 如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积分(
dS, 
R·dS, 
R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径
０)的极限称为标量场
(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).
1
标量场
的体积导数就是它的梯度：
grad
＝
2
矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：
div R＝
3
矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：
rot R＝－