第八章 第八章 矢量算法与场论初步·张量
算法与黎曼几何初步
本章包括两个部分.
第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去.
第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.
§1 矢量算法
一、 一、 矢量代数
［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.
具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．
在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度
表示大小，用端点的顺序A
B表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作
，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号
或|a|表示.
矢量按其效能可分成三种基本类型：
具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.
沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.
作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.
在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量.
模等于1的矢量称为单位矢量.
模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.
模与矢量
的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a.
始点与原点O重合而终点位于一点M的矢
量
(图8.1)称为点M的矢径(或向径)，记作
r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z ,
则有
r＝
＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk
式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位
矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).
［矢量的基本公式］
|
名 称 |
公 式 |
图 形 |
|
矢量a的坐标表示 坐标单位矢量i，j，k 的坐标表示 零矢量的坐标表示 a的长度(或模) a的方向余弦( 为a的方向角) 矢量 Ｂ的坐标分别为( ax,ay,az), (bx,by,bz) |
a＝axi＋ayj＋azk＝(ax, ay, az) i＝(１，０，０) j＝(０，１，０) k＝(０，０，１) 0＝(０，０，０)(0无方向) ＋(bz－az)k |
|
,
,
= a
［加法］ 若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则
a＋b=( ax＋bx,ay＋by,az＋bz)
把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b(称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则，见图８.3).
加法运算适合如下规律：
(交换律)
(结合律)
a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０
［减法］ 若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则
a－b＝(ax－bx，ay－by，az－bz)
把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b
(图8.4).
对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：
|a＋b||a|＋|b|
［数乘］ 以实数
乘矢量a称为数乘，记作
a.当
>０时，a的模伸缩
倍，方向保持不变；当
<０时，a的模伸缩|
|倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(ax,ay,az)则
a＝(
ax, 
ay, 
az)
设
，
为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合
下列规律：
(
a)＝(
)a
(结合律)
(
＋
)a＝
a＋
a
(分配律)
(a＋b)＝
a＋
b
(分配律)
［矢量的分解］
1
设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的
直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则
c＝
+
= 
a＋
b
这称为矢量c对a，b的分解.
2
设a，b，c 为非共面矢量，而d为任一矢量，把
它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别
平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则
d＝
+
+
＝
a＋
b＋
称为矢量d对a，b，c的分解.
3
如果两个非零矢量a与b有线性关系
a＋
b＝０
式中
, 
不全为0，则称这两个矢量共线(即
a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.
4
设a,b为两个非零矢量，若
a＋
b ＝０，则有
＝０，
＝０，这时称a，b为线性无关.
5
若三个非零矢量a，b，c有线性关系
a＋
b＋
＝０，式中
，
，
不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a，b，c为线性相关.如果a，b，c为三个非零矢量，而
a＋
b＋
＝０，则有
＝
＝
＝０，这时,称a，b，c为线性无关.
6
四个(或四个以上)矢量a，b，c，d必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数
，
，
，
，成立
a＋
b＋
＋
d＝０.
［标量积(数量积、点积、内积)］ 设a＝(ax, ay, az)，b＝(ｂx,ｂy,ｂz)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为
，则称数值ab cos
为矢量a，b的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作
a·b＝ab＝ab cos
(０
)
可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影的长度(图8.8).
标量积运算适合以下的规律：
a·b＝b·a (交换律)
a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)
(
a)·(
b)＝
a·b (数乘的结合律)
a·a＝a２＝|a|２＝a２
若a，b为非零矢量，a·b＝０，则a
b；反之也真.
i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝０
a·b＝axbx＋ayby＋azbz (即对应坐标相乘之和)
［矢量积(叉积、外积)］设a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为
，则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a，b为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分)
|a×b|＝ab
sin
(０
)
它的方向垂直于两矢量a和b,并且a，b，a×b构成
右手系(图8.9).
矢量积运算适合下列规律：
a×b＝－b×a (反交换律)
(a+b)×c＝a×c＋b×c (分配律，次序不能交换)
(
a)×(
b)＝
(a×b)
[(
＋
)a]×b＝(
＋
)(a×b)＝
(a×b)＋
(a×b)
a×a＝０
若a，b为非零矢量，则a，b共线(即a//b)的充分必要条件是：
a×b＝０
i×i＝j×j＝k×k＝０，i×j＝k，j×k＝i，k×i＝j
a×b＝
＝(ay bz- az by)i+( az bx－ax bz)j+( ax by－ay bx)k
[两矢量的夹角]
cos(a，b)＝
sin(a，b)＝
[拉格朗日恒等式]
(a×b)·(c×d)＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)
特别 (a×b)2=a2b2－(ab)2
即 (ay bx- az by)2+( az bx－ax bz)2+( ax by－ay bx)2
＝(ax2+ay2+az2)(ｂx2+by2+bz2)－(axbx+ayby+azbz)2
[三个矢量的混合积] 设a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，c＝(cx,cy,cz)为三个矢量,则它们的混合积定义为
(abc)＝a·(b×c)＝
＝ax(bycz－bzcy)＋ay(bzcx－bxcz)＋az(bxcy－bycx)
混合积具有性质:
1
a·(b×c)＝(a×b)·c
注意,一般情况下等式
(a·b)·c =a·(b·c)
(a×b)×c =a×(b×c)
不成立.
2
(abc)＝(bca)＝(cab)=－(acb)=－(bac)=－(cba)
即有轮换性：
a·(b×c)＝b·(c×a)＝c·(a×b)＝－a(c×b)＝－b(a×c)＝－c(b×a)
3
混合积(abc)是一个数，它的绝对值等于以a，b，c为边的平行六面体的体积.
4
三个矢量共面的充分必要条件是：(abc)＝0.
[三重矢积]
a×(b×c)＝(a·c)b－(a·b)c
(a×b)×c＝(a·c)b－(b·c)a
采用a，b，c轮换法还可推出其余两个同类公式.
[多重积的几个公式]
a×(b×c)＋b×(c×a)＋c×(a×b)＝０
(a×b)·(c×d)＝
＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)
(a×b)×(c×d)＝(abd)c－(abc)d＝(cda)b－(cdb)a
a×[b×(c×d)]＝(b·d)(a×c)－(b·c)(a×d)
(a×b b×c c×a)＝(abc)２
(a１a２a３)(b１b２b３)＝
(a×b c×d e×f)＝(abd)(cef)－(abc)(def)