九、曲面曲线的测地曲率、测地线与测地坐标

       [测地曲率与贝尔特拉米公式]  设M为曲面S上一点，C为S上通过点M的一条曲线，为S在M的切面，为C在上的正射影，则在M的曲率称为C在M的测地曲率，记作.

       设曲面S的参数方程为，曲面曲线C的方程为，则C的测地曲率

                   （1）

式中                        

如果曲线C以弧长s为参数，则

                                              （2）

式中                      

公式（1）和（2）称为测地曲率的贝尔特拉米公式.

       测地曲率是等距不变量.

       [测地线]  如果一条曲面曲线C上每点的测地曲率都等于零，则称C为曲面上的一条测地线.

       测地线的微分方程是

也可写为

或

       对于曲面上的测地线的微分方程为

式中p，q，r，s，t  见前表.

测地线具有性质：

       1、测地线在每点M的曲率小于与它在M相切的任何曲线在M的曲率.

2、如果把曲面曲线C的可展曲面变成平面时，那末只有测地线所对应的曲线是直线.

3、一条曲面曲线C是测地线的充分必要条件是：在C上每点的主法线与该点的曲面法线重合，即C的密切面包含曲面法线.

4、如果两个曲面沿一共同曲线C相切，假设C是其中一个曲面的测地线，则C也是另一个曲面的测地线.

5、通过曲面上每点沿每一方向有一条且有一条测地线.

6、在充分小的邻域里，测地线是短程线，即连接曲面上两个邻近点的一切曲面曲线中，测地线的长度最短.

       [测地坐标]  若取坐标线u=常数为测地线=常数的正交轨线，则称为测地坐标，这族正交轨线称为测地平行线，这时

以测地坐标表示的总曲率为

若测地线=常数交于一点O，表示测地线和测地线的交角，则称为测地极坐标，这时的测地平行线称为测地圆，其半径等于u.

       [高涅-波恩涅公式]  设G为曲面S上一个单连通区域，G的边界C是一条逐段光滑并无自交点的闭曲线，其运行的方向是使G总是在它的左侧.

       设表示曲线C上任一点的测地曲率，为曲面面积元素，分别为C的角点的内角（图），则在G上的二重积分

这称为高斯-波恩涅公式.特别

       1、如果C是一条正则曲线（即无角点），这时，则

       2、如果C是由n条测地线组成的测地多角形，这时（因=0）

       当时，C为三条测地线组成的测地三角形，这时

因次，的曲面上的测地三角形三内角之和大于；的曲面上测地三角形三内角之和小于；的曲面上测地三角形三内角之和等于.