§8  重要平面曲线表

[三次曲线]

方  程  与  图  形

特   征

 

        

   

 

  

    (a >0 , b<0 ,Δ>0)       (a >0 , b<0 ,Δ=0)

          (a)                   (b)

      

  这些曲线都是关于直线对称的

曲线由两支组成

渐近线y = a与x = 0

曲线与y = a的交点

             

曲线与x轴的交点

      

极值点 

拐  点 

( a )

不连续点 

极 大 点 

渐 近 线              

        与

（b）

不连续点    

渐 近 线      

（c）

极 大 点      

拐    点 

   

在这两点的斜率分别为        

渐 近 线       y = 0

             方  程  与  图  形

          特    征

 

        

 

 

    

[注] a, b为方程的两个根，并设

（a）

不连续点     x = a，x = b

渐 近 线       y = 0和x = a，x = b

（b）

不连续点     x = a，x = b

极 大 点      

极 小 点

拐    点  C

渐 近 线       y = 0和x = a，x = b

( c )

不连续点     x = a，x = b

极 大 点      

极 小 点

拐    点  C

渐 近 线       y = 0和x = a，x = b

（d）

不连续点    

极 大 点      

拐    点  C

渐 近 线       y = 0和

（e）

不连续点    

极 小 点

拐    点  C

渐 近 线       y = 0和

（f）

极 大 点      

极 小 点

拐    点  C, D, E三点

渐 近 线       y = 0

上述三次曲线的图形，只列出a>0的情况，对于a<0时，除曲线（当a>0时渐近线在x轴上方，当a<0时，渐近线在x轴下方）外，一般作适当变化后，与a>0时的曲线都是关于x轴对称的.例如a<0时，两条曲线：与是关于x轴对称的，而后者x2系数.

[抛物型曲线]

          方 程 与 图 形

特   征

 

 

       

 

 

(a)     (a)   ，n为偶数：

y由变到

极值点  奇数个（1～n-1）

拐  点    偶数个（0～n-2）

(b)     (b)     ，n为奇数

y由变到

极值点  偶数个（0～n-1）

拐  点    奇数个（1～n-2）

曲线与x轴的交点A1, A2,A3(或一个交点A1)为方程的实根与y轴的交点

极值点时       C,D（C取正号，D取负号）

拐  点    它是曲线

        的对称中心，该点的切线斜率为

     方 程 与 图 形

             特   征

    (a)               (b)

(a)  ，n为偶数：

顶点（同极值点）O(0, 0)

曲线关于y轴对称

(b)  ，n为奇数：

拐点      O(0, 0)

曲线关于原点对称

（m, n为两个互素的整数）

 

n为偶数

m奇数

n为奇数

m偶数

n为奇数

m奇数

相切情况

  m>n

  m<n

对称情况

关于x轴对称

 关于y轴对称

   关于原点对称

在原点处与x轴相切

在原点处与y轴相切

 

方 程 与 图 形

特  征

[双曲型曲线]

 

 

 

[半立方抛物线]

 

    

[箕舌线]

 

[笛卡儿叶形线]

 

或

  

[蔓叶线]

 

或

或

     

[环索线]

 

或

或

    

[尼哥米德蚌线]

 

或

或   （外支线取正号，内支线取负号）

 (a)  n为偶数：

       不连续点     O（0, 0）

渐 近 线       y = 0与x = 0

曲线关于y轴对称

 (b)  n为奇数：

曲线关于原点对称

(a)    ，n为偶数，m为奇数：

不连续点     O（0, 0）

渐 近 线       y = 0与x = 0

曲线关于x对称

 (b)    ，n为奇数，m为偶数：

曲线关于y对称

 (c)    ，n为奇数，m为奇数：

 曲线关于原点对称

尖点        在该点与x轴相切

曲率半径    

弧长     

极大点  ，在该点的曲率半径为

拐  点    ，在这两点的切线斜率分别为

渐 近 线      

曲线与渐近线之间的面积    

结  点    ，在该点与x轴和y轴相切，曲率半径为

顶  点   

渐近线 

圈套所围成的面积

曲线与渐近线之间的面积    

曲线是使的点M的轨迹（P是直径为a的母圆与OQ的交点）

尖  点    ，在该点曲线与x轴相切

渐近线 

曲线与渐近线之间的面积

曲线是使PM1 = PM2 = OP的点M1 , M2的轨迹（P为y轴上一点，M1,M2在过A, P两点的射线上）

       顶  点    A(a, 0)

       结  点    O(0, 0)

       渐近线  x = -a

       圈套所围成的面积

                    

       曲线与渐近线之间的面积

                    

曲线是使OM1 = OP + b,OM2 = OP - b的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线(右)和内支线(左))

       外支线

              顶  点    A(a + b, 0)

              拐  点    B, C，它们的横坐标等于方程x3 – 3a2x + 2a(a2 – b2) = 0的最大根

内支线

顶  点    D(a - b, 0)

拐  点（a>b时）E, F，它们的横坐标等于方程x3 – 3a2x + 2a(a2 – b2) = 0的第二个正根

尖  点（a=b时）      O(0, 0)

结  点（a<b时）      O(0, 0)

       内外支线的渐近线x = a

 [帕斯卡蜗线]

或                            

或                         （为圆的直径）

    曲线是使OM = OP ± b的点M的轨迹（P点在直径为a的圆周上）

顶  点           Ak, Bk(a ± b, 0)(k=1, 2, 3, 4, 5)，B2与原点重合

结  点（b<a时）O(0, 0)，在该点的切线的斜率为，该点的曲率半径为

尖  点（b=a时）O(0, 0)

孤立点（b>a时）O(0, 0)

极值点  当b<a时有4个，当b³a时有2个：当b从0变到¥时，所有极值点构成蔓叶线

拐点（a<b<2a时）

二重切线的切点（b<2a时）：

             

这些切点在圆r = - acosj上蜗线所围成的面积

                    

（当b<a时，内圆的面积计算了两次）

[注] 当b=a时，即为心脏线.

[卡西尼卵形线]

或

    曲线是使MF1×MF2 = a2的点M的轨迹（F1, F2为固定焦点，F1F2 = 2c，a为常数）.

        顶  点  

                    

        极值点

或

       当a从0变到时，所有极值点构成一个圆（半径为c）

    拐  点      

             

其中

             

或

             

        当a从c变到时，所有拐点构成双纽线

[注]当a=c时，即为双纽线.

[心脏线]

 

或

      

或

        

   

[双纽线]

      

或

      

[普通旋轮线（摆线）]

 

或

      

[长（或短）辐旋轮线（次摆线）]

 

           长轴(λ>1)

           短轴(λ<1)

[圆外旋轮线（外摆线）]

（a为定圆的半径，b为动圆的半径，t = ÐCOx）

  

  

 

（i）       （i）       它是使OM = OP ± a的点M的轨迹（a为圆的直径，P为圆周上的一点）

（ii） 它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等）

       尖  点    O(0, 0)

       顶  点    A(2a, 0)

       极值点 

       二重切线的切点      

       曲线长  L = 8a

       面  积   

（i）           （i）           它是使MF1 × MF2 = a2的点M的轨迹（OF1 = a）

（ii）          （ii）          它是使OM = PQ的点M的轨迹（P, Q在圆心为F1，半径为的圆周上）

结  点    （同拐点）O(0, 0)，在该点的切线的斜率为± 1

顶  点   

极值点 

曲率半径    

双纽面积     S = 2a2

       曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹（圆的半径为a）

       周  期    T = 2pa

       极值点      

       曲率半径    

       渐屈线  为一旋轮线（图中虚线）

       拱  长   

       面  积   

       曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动对，圆外一点M（或圆内一点N）所描成的轨迹（圆的半径为a）

       周  期    T = 2pa

       结  点      

       拐  点

       极大值点

       极小值点    

曲率半径    

对应于极值点（l<1时）处的曲率半径为

曲线是一圆周沿另一圆周外部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹，曲线的形状由的值而定

（i）                         （i）           当m = 1时，曲线是心脏线

（ii）                        （ii）          当m为整数时，曲线由m支组成，动点M描完m支后（即动圆绕定圆一周），返回起始位置

（iii）                      （iii）        当m为分数（，g, h为互素的整数）时，曲线由g支组成，动点M描完g支后（即动圆绕定圆h周），返回起始位置

（iv）                      （iv）        当m为无理数时，有无穷多的分支，动点M不能返回起始位置

   尖  点

顶  点           （式中k为整数，当m为整数时，；当时，；当m为无理数时，）

曲线长（一支）

曲率半径    

扇形A1B1A2A1的面积（不包括定圆的面积）

   

 [圆内旋轮线（内摆线）]

（a为定圆半径，b为动圆半径，t = ÐCOx）

 

  

曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹.

圆内旋轮线的尖点、顶点的坐标，弧长，曲率半径及面积公式都与圆外旋轮线一样，只须把“+b”换成“-b”.总是大于1，特别，当m = 4时，曲线有4只，称为星形线，其方程为

或

全曲线长L = 6a

曲线所围成的面积  

[长（或短）辐圆外旋轮线（外次摆线）]

  （a为定圆半径，b为动圆半径）

      

       曲线是一圆周沿另一圆周的外部滚动而无滑动时，圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.

       [长(或短)辐圆内旋轮线（内次摆线）]

（a为定圆半径，b为动圆半径）

    

                    长辐                  短辐

       曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.特别，当a=2b时，长短辐圆内旋轮线是一个椭圆；当a=b时，是帕斯卡蜗线.

方 程 与 图 形

特  征

[阿基米德螺线]

  

 

  曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以定角速度绕极点O转动时，该动点所描成的轨迹.曲线由两支曲线组成，它们关于x轴对称.

  （方程中,）

等距性  过极点的射线与曲线交于A0,A1,A2,L，它们是等间隔()的

弧  长

曲率半径 

扇形M1OM2的面积 

[对数螺线（等角螺线）]

 

  曲线与所有过极点的射线的交角都相等(a)(k=cota)，当时，曲线沿顺时针方向绕极点转动而趋于极点

等比性  过极点的射线与曲线交于L,A-1,A0,A1,L，则L，,OA0,OA1,L,各线段成等比级数（公比为）

弧长 

      

曲率半径 

[注]当时，即为一圆

       [双曲螺线(反螺线)]

             

              

       渐近点  极点O（当时）

       渐近线  y=a

       曲率半径 

       扇形M1OM2的面积 

       曲线由两支组成，它们关于y轴对称

       [连锁螺线]

             

              

       曲线是当N在x轴上移动时，使圆扇形OMN的面积保持一定的点M的轨迹

       渐近点  极点O（当时）

       渐近线  x轴（当时）

方  程  与  图  形

特    征

[圆的渐开线]

  （a为圆的半径，t=COx）

   

尖点  A(a,,0)

与x轴的交点  B(,0)

（式中t0为方程t=tant的根）

弧长 

曲率半径 

曲率中心C在圆周上

曲线由两支组成，它们关于x轴对称

[回旋曲线]

 

 

拐点  O(0,0)

渐近点  A()

        B( )

弧长 

曲线关于原点对称

        方  程  与  图  形

                 特    征

[悬链线]

 

      

顶点  A(0, a)

弧长 

曲边梯形OAMP的面积

   

曲率半径 

曲线关于y轴对称，位于抛物线y=a+（图中虚线）的上方

[注]  把一条柔软而不能伸长的重绳悬挂于

     两点，便得到悬链线的形状

[曳物线]

  x=aArch

或

  x=aln

      

尖点  A(0,a)，在该点与y轴相切

弧长  =aln

曲率半径  R=acot

曲线关于y轴对称，是悬链线的渐开线，从顶点A开始展开，这一曲线的切线与x轴的交点到切点的距离为一常数.

[注] 把长度为a的柔软而不能伸长的绳子的

     一端系一质点M，另一端P沿轴x移动，

     则点M便描成曳物线形状

         [玫瑰线]

         

        

        

 

             

 

方  程  与  图  形

特    征

[概率曲线]

  y=a   (a>0, k>0)

顶点（同极大点）  A(0, a)

拐点  B,C

该点切线的斜率为

曲线与x轴间的面积

曲线关于y轴对称

[标准正态分布曲线（高斯曲线）]

  y=

顶点  A(0,0.3989)

拐点  B,C()

曲线与x轴间的面积为1

曲线关于y轴对称

[一般正态分布曲线]

  y=

 

[阻尼振动曲线]

  y=A   (A>0)

顶点（同极大点）

      A(m,)

拐点  B,C(m)

曲线与x轴间的面积为1

曲线关于直线x=m对称

与x轴的交点

     Bk  (k=1,2L)

与y轴的交点C(0,Asin0)

极值点  Ak的横坐标为

  （式中tan）

拐点  Dk的横坐标为

  （式中tan）

曲线与两条指数曲线

     y=相切，切点

    Pk