3. 椭圆的性质

1°     椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数(即长轴)的动点M的轨迹 (r₁ + r₂ = 2a).

2°     椭圆也是到一定点(即焦点之一)的距离与到一定直线(即一准线L)的距离之比为小于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹(MF₁/ME₁ = MF₂/ME₂ = e).

3°      椭圆是将半径为a的圆沿y轴方向按比(即压缩系数)压缩而得到.

4°      椭圆上一点M(x₀, y₀)的切线(MT)方程为

 

切线把点M的两焦点半径间的外角(即∠F₁MH)平分(即a =b ,),M点的法线MN把内角(即∠F₁MF₂)平分(图7.3)

如果椭圆的切线(MT)的斜率为k,则其方程为

 

式中正负号表示直径两端点的两切线.

5°     椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的弦平分(图7.4)

       如果两共轭直径的长分别为2a₁和2b₁, 两直径与长轴的夹角(锐角)分别为a 和b ,则a₁b₁sin(a + b )= ab      

a₁² + b₁² = a² + b²

       6°     椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

       7°     设MM¢ , NN¢ 为椭圆的两共轭直径, 通过M, M¢ 分别作直线平行于NN¢ ; 又通过N, N¢ 分别作直线平行于MM¢ , 则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.5).

 

 

 

 

 

          (图7.5)