方 程 与 图 形

圆 心 与 半 径

x² + y² = R²

或

(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)

圆心      G(0,0)

半径   r = R

(x - a)²+(y - b)² = R²        

或

(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)

圆心   G(a, b)  

半径   r = R

x² +y² +2mx + 2ny + q = 0             

m² + n² > q

r²+2r(mcost + nsint) + q = 0    (极坐标方程)

圆心      G(-m,- n)

半径  

r²-2rr₀cos(j- j₀)+r₀² = R²           (极坐标方程)

圆心   G(r₀,j₀)

半径   r = R

x² + y² = 2Rx

或 r = 2Rcosj

(极坐标方程)

圆心   G(R, 0)

半径   r = R

x² + y² = 2Ry

或 r = 2Rsinj

(极坐标方程)

圆心     G(0,R)

半径     r = R

方 程 与 图 形

公 式 与 说 明

两个圆的交角

C₁          x² +y² +2m₁x +2n₁y +q₁ = 0

C₂          x² +y² +2m₂x +2n₂y +q₂ = 0

       两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

式中q 表示两个圆C₁和C₂的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.

       两个圆C₁和C₂正交条件为

              2m₁m₂ + 2n₁n₂ - q₁ - q₂ = 0

圆束× 两个圆的根轴

C₁ + l C₂ = 0       (l 为参数)

或 (l+1)(x²+y²) +2(m₁+l m₂)x

+(n₁+ln₂)y + (q₁ +lq₂) = 0

根轴方程为 2(m₁ - m₂)x + 2(n₁ - n₂)y + (q₁ - q₂) = 0

       对l (l ¹ -1)的一个确定值，表示一个圆.当l 取一切值(l ¹ -1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C₁和C₂的根轴.根轴与C₁和C₂的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C₁和C₂的连心线上，且分连心线的比等于l .

(a)如果C₁和C₂ 相交于两点M₁，M₂，则束中一切圆都通过两交点M₁，M₂，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).

(b)如果C₁和C₂切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).

(c)如果C₁和C₂不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).

从点P作两个圆C₁和C₂的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.