l (A₂x+ B₂y+ C₂z+D₂)+

m (A₃x+ B₃y+C₃z+D₃)

四、空间中点、直线、平面的相互关系

方 程 与 图 形	公 式 与 说 明
[二平面的夹角] P1 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 P2 A2x + B2y + C2z + D2 = 0	式中就是二平面P1和P2的二面角
方 程 与 图 形	公 式 与 说 明
[平面束× 三平面共线的条件] (A1x+ B1y+ C1z+ D1) + l (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (l 为参数，-¥ <l < ¥ ) 　 [平面把× 四平面共点的条件] (A1x+ B1y + C1z + D1)+ = 0 (l , m 为两个独立参数， - ¥ < l , m < ¥ )	对l 的一个确定值，表示一个通过二平面P1和P2交 线L的平面，当l 取一切值时，所表示的通过L的平面的全体称为平面束，L称为束的轴. 设P3为A3x + B3y + C3z + D3 = 0，则三个平面P1, P2, P3共线的条件为矩阵 的秩等于2. 　 对l ,m 的一对确定值， 表示通过三平面P1, P2和P3交点G的一个平面，当l , m 取一切值时， 所表示的通过G的平面的全体称为平面把，G称为把的顶点. 设P4为A4x + B4y + C4z + D4 = 0，则四个平面P1, P2, P3, P4共点的条件为行列式
[点面的距离] 法线式 xcosa +ycosb +zcosg -p = 0 一般式 Ax + By + Cz + D = 0	d法 = | x0cosa + y0cosb + z0cosg - p | 式中d为点M(x0,y0,z0)到平面的距离
方 程 与 图 形	公 式 与 说 明
[点线的距离] L	式中d为点M(x0, y0, z0)到直线L的距离，i，j，k为三个坐标轴上的单位矢量，最外面的符号“| |”表示矢量的模
[二直线的夹角] L1 L2	式中j 为二直线L1和L2的夹角
[二不平行直线的最短距离] L1              L2	所谓最短距离是指L1, L2的公共垂线与此两线交点之间的距离，式中正负号与行列式取同号.从此推出二直线共面的条件为d=0，所在平面的方程为
方 程 与 图 形	公 式 与 说 明
[直线与平面的夹角] L P Ax + By + Cz + D = 0	式中j 为直线L与平面P的夹角

　

[直线与平面的平行与垂直条件]

平 行 条 件	垂 直 条 件
线与线 面与面 线与面	p1p2 + q1q2 + r1r2 = 0 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0