三、δ-函数的概念

   在讨论直线上有集中质量分布时，例如只在原点x=0处有集中质量m,而在其他各点都没有质量，这时，对直线上坐标不等于零的点，总可以取包含这个点的充分小的区间Δl,使Δl不包含点x=0，则区间Δl上的平均密度为零，所以在点x(≠0)的密度也是零；而在点x=0处，若Δl包含这个点，由于

               

当Δl→0时，平均密度趋于无穷大.在包含点x=0的任何区间[a,b]内,质量总等于m,这时仍认为存在密度函数u(x),

                    

                    

特别，当m=1时，记这种密度函数为δ（x）,即

                    

对包含点x=0的任何区间I，有

                或 

称这个函数δ（x）为δ-函数(也称为狄拉克函数或脉冲函数).

       δ-函数具有一个重要性质： 对任一连续函数f(x),有

             

这个性质表明，δ-函数虽然不符合古典的“一点对应一点”的函数定义，但它和任意连续函数的乘积在（-∞，∞）内的积分却有明确的定义.因此δ-函数在近代物理和工程技术中有着比较广泛的应用.