三、    曲面积分

       [对曲面面积的曲面积分]

       1° 若S为逐片光滑的双侧曲面*

                      z=z(x,y)   ((x,y))

式中σ为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z(x,y)为单值连续可微函数，函数f(x,y,z)在曲面S的各点上有定义并连续，则

此积分与曲面S的方向（法线的方向）无关.

       2° 若曲面S由连续可微函数

   ((u,)∈Ω)

给定，则

式中

             

             

             

 

  * 曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，它们就是选定方向的

法线在曲面上连续移动（不经过曲面边缘）的指向，所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定

的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为

双侧曲面.

 

     [对坐标的曲面积分]  若S为光滑的双侧曲面，为它的正面，即由法线方向n(cosα, cosβ,cosγ)所确定的一侧，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)为在曲面S上有定义并且连续的函数，则

       若曲面S由连续可微函数

     ((u,)∈Ω)

给定，则

             

式中

             

       [斯托克斯公式]  若C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数，则

      

       [高斯公式]  若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续，则有高斯公式：

             

式中cosα,cosβ,cosγ为曲面S的法线正方向的方向余弦.