八、积分的近似计算

       1. 内插求积公式

       [等距内插求积一般公式（柯斯特公式）]

≈(b－a)

式中为等距节点：

=a+kh             k=0,1,2,…,n

                           

为柯特斯系数（见下表）.

柯特斯系数表

       当区间[a,b]愈小，柯特斯公式所给出的结果愈精确.因此，当区间[a,b]较大时，为了避免采用n值较大的柯特斯公式，常把[a,b]N等分，对其中各个等份应用n值较小的柯特斯公式求积，然后再把各个等份的积分值相加，即得到区间[a,b]上的积分值，如下述的梯形公式(n=1)和辛卜生公式(n=2).

       [梯形公式]

                        ≈

                            =a+kh,  k=1,2,…,N－1      

   若≤M₂,则截断误差为

              ≤

       [辛卜生公式]

              ≈

                     =a+k,      

若≤,则截断误差为

≤

       [龙贝公式]   设

             

             

                      =

             

则

             

       一般地，可适当选取m,使之固定，再增大k,使近似截断误差

                  

在允许误差范围内即可，这时

                    ≈

       具体计算过程可按下表自左而右，自上而下进行（表中箭头方向表示计算顺序）.

 

       例 用龙贝公式计算积分

               

误差不超过0.0000001.

       解 这里,a=0,b=1.可按五步进行计算，结果如下：

       (1)

       (2)

             

       (3)

           

            

       (4)

           

          

           

       (5) 可以继续算出

           3.140941614              3.141592655

           3.141592665              3.141592643

因为

          |-|=|3.141592643－3.141592665|<0.0000001

所以

                     ≈3.14159264     

而准确值为

             

       在等距内插求积公式中，以辛卜生公式和龙贝公式为好，计算简单 ，便于在电子计算机上实现(都有标准程序)，精确度也相当高.特别龙贝公式是采用区间逐次分半的方法,前一次分割得到的函数值在区间分半后仍可利用，具有计算有规律，不需存储柯特斯系数和节点等优点.

       但等距内插求积公式不能计算广义积分.广义积分只能用下面的高斯型求积公式来计算.

       [不等距内插求积公式（高斯型求积公式 ）]

       高斯型求积公式为

              ≈     n=1,2,…

式中(a,b)区间可以是有限或无限，w(x)为(a,b)区间内的非负权函数.

              －∞≤a≤<<…<<b≤∞

为求积节点（相应的正交多项式的根），(k=1,2,…,n)为求积系数.f(x)为不超过2n－1次的多项式时，上述求积公式(1)成为等式.

    下面列出几种特例.

       1°

                                          (－1<θ<1)

式中为勒让德多项式(见第十二章，§2，一）的根.

       2°

                                          (－1<θ<1)

式中为第一类契贝谢夫多项式(见第十二章，§2，二）的根.

它也可表为

       3°

(－1<θ<1)

式中为第二类契贝谢夫多项式(见第十二章，§2，三）的根.

       4°

(－1<θ<1)

       5°