七、斯蒂尔吉斯积分

[定义]  设在区间[a,b]上给定两个有界函数f(x)和g(x).用任意方法把区间[a,b]分成若干部分，其分点为

a=x₀<x₁<x₂<…< x_i<x_i+1<…<x_n=b

并设λ是Δx_i=x_i+1-x_i(t=0,1,…,n－1)中最大的.在每个小区间上任取一点,作和

σ=

当λ→0时，如果极限存在，那末这个极限称为函数f(x)对函数g(x)的斯蒂尔吉斯积分，记作

       特别是，当函数g(x)在区间上连续可微时，函数f(x)对g(x)的斯蒂尔吉斯积分就是通常的黎曼积分

[可积性]

       1°若函数f(x)连续，函数g(x)有有界变差，则积分

                                                                （1）

存在.

       2°若函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积，函数g(x)满足李普希茨条件：

|g(x')-g(x'')|≤L(x'－x'')

(L为常数，a≤x''<x'≤b)

则积分(1)存在.

       3°若函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积，函数g(x)可表示成

                      g(x)=C+

式中C为常数，函数在区间[a,b]上绝对可积，则积分(1)存在.

[积分法则与不等式]

       1°积分法则

             

             

             

              (k,l为常数)

             

                                      (a<c<b,三个积分都存在，当上式右边两个积分存在时，一般不能推出积分存在）

                     (分部积分公式)

       2° 若g(x)在区间[a,b]上为一非减函数，则

              ≤

       3° 若g(x)在区间[a,b]上为一非减函数，则f(x)≤F(x),则

                 ≤