十、微分的应用（I）— 函数的极值

1．单变量函数的极值

[极值（极大值或极小值）]若函数f (x)在点x₀的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域0<|x-x₀|<δ内的一切点x，下面不等式成立：

f (x)< f (x₀)    (或f (x)> f (x₀))

则称函数f (x)在点x₀处有极大值（或极小值）.

[极值存在的必要条件]假定函数f (x)在区间(a,b)内存在有限导数.若在点x₀(∈(a,b))处函数有极值，则必有

=0                                                                     (1)

所以可微函数的极值只能在使(1)式成立的点达到，这种点称为稳定点.

[极值存在的充分条件]

第一法则  若函数f (x)满足条件：（i）在点x₀的某邻域|x-x₀|<δ内有定义并且连续，且在点x₀处，=0或不存在，（ii）在范围0<|x-x₀|<δ内有有限的导数，（iii）在点x₀的左右两侧有固定的符号，则函数f (x)在点x₀有无极值见下表：

x	x < x0	x 0	x> x0	f (x)
	+ — + —	0	— + + —	极大值 极小值 上升 下降

第二法则  若函数f (x)有二阶导数,并且在点x₀处下列条件成立：

=0及≠0

则函数f (x)在此点有极值，当<0时，有极大值；当>0时，有极小值.

第三法则  设函数f (x)在某邻域|x-x₀|<δ内有导数,，且

=0         （k=1,）

≠0      

若n为偶数，则函数f (x)在点x₀处有极值（当<0时有极大值，当>0时有极小值）;若n为奇数，则在点x₀处无极值.

以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程

=0

的实根.有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，§4.