2．多变量的幂级数

[双变量的幂级数]  按变量x,y的正整数幂次排列的形如

                                                    （2）

的重级数称为双变量x,y的幂级数.

多变量幂级数的收敛范围的研究有很多地方与单变量的不同，但仍有

定理  若在x=x₀,y=y₀时级数（2）收敛，则当

|x|<|x₀|,|y|<|y₀|

时，级数也收敛.

[收敛范围]  如果M是两个变数x,y的区域，在其中各点上幂级数（2）都收敛，而在其外各点上幂级数（2）发散，在边界点上可能发散，也可能收敛.那末区域M称为幂级数（2）的收敛范围.

双变量的幂级数的收敛范围并不一定是|x|<R₁，|y|<R₂的形式，例如

1°  级数

的收敛范围是|x|<1，|y|<1.

2°  级数

处处收敛.

3°  级数

=1+x++xy+x²y+x³y++x²y²+

(=(1+x+)[1+xy+]=)

的收敛范围是|x|<1，|xy|<1.

以上结果容易推广到多变量的幂级数中去.