六、微分学的基本定理(中值定理)

[洛尔定理]  如果(i)函数f(x)定义在闭区间[a,b]上而且是连续的,(ii)在开区间(a,b)内存在有限导数,(iii)在区间的两端点处函数值相等: f (a)= f (b).那末在a与b之间至少存在一点c,使=0.即曲线y= f (x)在点(c, f (c))处的切线是水平的(图5.6).

特别,若f (a)= f (b)=0,洛尔定理可简述如下:在一个函数的两个根之间,它的一阶导数至少有一个根.

注意,函数f (x)须在闭区间[a,b]上连续,并且在开区间(a,b)内点点要有导数存在,这对于定理的结论的正确性是很要紧的.例如函数

f (x)=在区间[0,1]上,除去在x=1时有间断以外满足定理的一切条件,但在(0,1)内处处都是=1.又例如由等式f (x)=x()及f (x)=()所定义的函数,在这区间内除去当x=时(双边的)导数不存在以外,它也满足定理的一切条件,可是导数在左半区间内等于+1,而在右半区间内等于.

定理的条件(iii)也是很重要的,例如函数f (x)=x在区间[0,1]上,除去条件(iii)以外满足定理的一切条件,而它的导数处处是=1.

[中值定理]  如果(i) f (x)定义在闭区间[a,b]上而且是连续的,(ii) 在开区间(a,b)内存在有限导数,那末在a与b之间至少存在一点c,满足等式

=              (a<c<b)                                (1)

即曲线y= f (x)在点(c, f (c))处的切线与弦AB平行(图5.7).这个定理也称为有限改变量定理或拉格朗日定理.

(1)式也常写成以下几种形式:

f (b)

f (x+Δx)Δx    (x<c<x+Δx)

Δy= f (x+Δx)      ()

由中值定理可得

定理  如果在区间[a,b]上的每一点都有=0,那末函数f(x)在这个区间上是一个常数.

[柯西定理]  如果(i)函数f(t)及g(t)在闭区间[a,b]上连续,(ii)在开区间(a,b)内有有限导数,(iii)在区间(a,b)内≠0.那末在a与b之间至少存在一点c,使

=         (a<c<b)

这公式称为柯西公式(图5.8).柯西定理常称为微分学的广义中值定理,因g(t)=x时,这个公式就是公式(1).

[多变量函数的中值定理]  如果(i)函数f(x,y)定义在闭区域上并且连续,(ii)在这区域内部(即在它的所有内点)有连续的偏导数,,今考察D中的两点

M₀(x₀,y₀)及M₁(x₀+Δx,y₀+Δy)

假设这两点能用全部位于D区域内的直线段M₀M₁来连接,则下面的公式成立:

      Δf(x₀,y₀)=f(x₀+Δx,y₀+Δy)

=   (0<θ<1)

由中值定理可得

定理  若在闭连通区域D*内连续的函数f(x,y),在此区域内偏导数都等于零,即

==0,

则这函数在区域D内必为常数.

 

 *  若区域的任意两点可以用一“折线”来连接，而该折线的一切点都在这区域中，这区域就称为连通区域.