2．多变量函数的连续性

[多变量函数的极限]  设函数u=f(P)=f(x₁,,x_n)定义在区域D内,P₀()为D内一点.若对任意小的ε>0，都存在δ=δ(ε,P₀)>0，使得只要PD及0<ρ(P,P₀)<δ（其中ρ(P,P₀)为P和P₀两点间的距离），都有

|f(P)-A|<ε

则称数A为函数f(P)在P₀点的极限，记作

或

    [n重极限与累极限]  上述函数f(x₁,,x_n)的极限，是当函数的一切自变量同时趋向于各自的极限时所得出的，称为n重极限（在n=2,时分别称为二重极限，三重极限,等等）.此外，还有一种极限，它是由各个自变量依某种次序相继地各自趋向于极限所得出的，称为累极限.例如对二元函数f(x,y)来说，二重极限为，两个累极限为（先让自变量x趋于a，再让自变量y趋于b）和（先让自变量y趋于b,再让自变量x趋于a），三者不一定相等.

定理  若（i）二重极限

A=

存在（有穷或无穷），（ii）对于D内的任一y，关于x的（有限的）单重极限

=

存在，则累极限

=

必存在，而且就等于二重极限.

    对于第二种累极限有类似结论.

[多变量函数的连续性]

定义1  如果==，那末在点P₀连续.

定义2  如果对任意小的ε>0，都存在正数δ>0，使得当0<ρ(P,P₀)<δ时，恒有

|f(P)-f()|<ε

那末在点P₀连续.

定义3  当自变量的改变量Δx_i(i=1,2,…,n)为无穷小量时，函数的改变量也是无穷小量，或者写为

式中，那末f(x₁,x₂,…,x_n)在点()连续.

    若函数在区域D上每点都连续，则称函数在区域D上连续.

[多变量函数的一致连续性]  设函数定义在某一区域D（有限的或无限的）上，若对任意给定的ε>0，都存在一个只与ε有关的δ=δ(ε)>0，使得对区域D上任意两点P₁和P，只要

ρ()<δ

就有不等式

|f()-f()|<ε

成立，则称函数在区域D上一致连续.

[多变量连续函数的性质]

1°  在有界闭区域D上连续的函数必在D上有界.

2°  在有界闭区域D上连续的函数必在D上达到一个最大值与一个最小值.

3°  在有界闭区域D上每点都连续的函数必在D上一致连续.