2．序列极限存在的判别法

[柯西准则] 序列{x_n}的极限存在的充分必要条件是：对任意给定的ε>0，都存在正整数N=N(ε)，使得当n>N时，不等式

||<ε

对一切正整数p>0都成立.

[上下极限相等] 序列{x_n}的极限（有穷或无穷）存在的充分必要条件是：

=

[单调有界] 单调有界序列必有极限.

若{x_n}为递增序列，且x_n≤M(n=1,2,…)，则存在而且不超过M.

若{x_n}为递减序列，且x_n≥M(n=1,2,…)，则存在而且不小于M.

[有有界变差]* 有有界变差序列(即存在正数c，使得||+||+

|<c,n=2,3,必有极限.

[序列对比] 若序列{x_n}满足条件y_n≤x_n≤z_n，且==c，则

=c

[施笃兹定理] 对序列,若(i)n≥n₀(n₀为某一自然数)时，y_n+1>y_n，(ii) =+∞,(iii) =l (有限数或)，则

==l

[加权平均序列] 设w_nk≥0(k =1,2,n;n=1,2),=1,对固定的k, w_nk=0.如果x_n=a,则

=a

* 对于函数有有界变差是这样定义的：假定f (x)在[a,b]上有限，在[a,b]上作分点a=x₀<x₁<…

<x_n-1<x_n=b,作和,V的上确界叫做f (x)在[a,b]上的全变差，记为.

如果<+,那么称f (x) 在[a,b]上有有界变差.