七、特征值与特征矢量

       [特征值与特征矢量] 对n阶方阵

A=

和n维非零列矢量

=(a₁,a₂,...,a_n)t

如果有一个数λ，使得

Aα=λα

则称λ为矩阵A的特征值（特征根），α为矩阵A的特征值λ所对应的特征矢量.

       矩阵A的所有特征值中绝对值最大的一个称为A的第一特征值.

       [特征矩阵· 特征多项式· 特征方程] n阶方阵

A=

的特征矩阵定义为

式中I为n阶单位矩阵.行列式|A－λI|称为矩阵A的特征多项式，记作

j（l）=|λI|

方程

j（l）＝０

称为矩阵A的特征方程.

       [矩阵的迹与谱] n阶方阵A的主对角线上各元素之和称为A的迹，记作

       特征方程j（l ）＝０的n个根l ₁，l ₂，...，l _n就是矩阵A的n个特征值.集合{l ₁，l ₂，...，l _n }称为矩阵A的谱，记作chA.

       线性齐次方程组

的非零解a 便是矩阵A的特征值l _i所对应的特征矢量.

       [特征值与特征矢量的性质]

       1° 设l ₁，l ₂，...，l _n为n阶方阵A的n个特征值，则

A^k的特征值为 （k为正整数）.

A的逆矩阵A^－1的特征值为.

A的伴随矩阵A^*的特征值为.

       2° n阶方阵A的n个特征值之和等于A的迹，矩阵A的n个特征值之积等于A的行列式，即

l₁+l₂+...+l_n=a₁₁+a₂₂+...+a_nn

由此可以推出矩阵可逆的另一充分必要条件是：A的所有特征值都不为零.

       3° 若l_i是特征方程的k重根，则对应于l_i的线性无关的特征矢量的个数不大于k.当l_i为单根时，对应于l_i的线性无关特征矢量只有一个.

       4° 矩阵A的不同特征值所对应的特征矢量线性无关.

       若n阶方阵A对应于特征值l₁，l₂，...，l_s的线性无关的特征矢量分别有k₁,k₂,...,k_s个，则这个特征矢量线性无关，且.

    5° 实对称矩阵的特征值都是实数，并且有　n个线性无关（而且是正交）的特征矢量.

       6° 矩阵的特征值在相似变换下保持不变，特别，At 与A具有相同的特征值.

       [求第一特征值的迭代法] 在实际问题中，往往不要求算出矩阵A的全部特征值，只需算出第一特征值，用迭代法计算如下：

                 

       假定当时，可以认为a^(k) ≈a^(m+1)，那末迭代到即可.这时为矩阵A的第一特征值的近似值，a^(m+1)为所对应的特征矢量.

       [求实对称矩阵的雅可比法] 设n阶实对称矩阵A=(a_ij)的特征值是l₁，l₂，...，l_n，则必存在一正交矩阵Q，使得

Qt AQ=

为对角矩阵.正交矩阵Q可用一系列旋转矩阵的积来逼近：

Q=

式中

                    

取

       因为在这种旋转变换下，消去了矩阵中位于第p行第q列(p¹ q)交点上的元素（见本节，五），而矩阵所有元素的平方和保持不变，而且对角线上的元素的平方和增大，因而非对角线元素的平方和随之减小，因此，当旋转次数足够大时,可使非对角线元素的绝对值足够小.对于预先给定的精度e >0,如果｜a_ij｜<e (i¹ j),则可认为a_ij≈0.于是得到求矩阵A的特征值与特征矢量的具体迭代方法.

       1° 按以下递推公式求特征值l₁，l₂，...，l_n：

       假定当时，可以认为，则迭代到即可.而取作为l_i的近似值：

       2° 求特征矢量从1°有

=

记

P_m=U_1…U_m-1U_m

则

AP_m= P_m

所以P_m为特征矢量矩阵.

       P_m由下列递推公式算出：

最后得到

即

为对应于特征值l _i的特征矢量的近似值.

       [求对称三对角矩阵特征值的方法]

       1° 相似变换法 设A为n阶对称三对角矩阵：

                            A=               (1)

经过相似变换

式中I为单位矩阵,t_k为适当选定的常数，U_i为雅可比旋转矩阵：

为U_i的转置矩阵.又A₁=A，A_k+1与I相似，且A_m与相似.因此，若A_m的特征值为，则A₁的特征值l _i(i=1,2,...,n)为

                      (i=1,2,…,n)

       假定当时，可认为，那末可适当选择s_i，c_i，使得当m充分大时，A_m在该精度下化为对角线矩阵；其特征值.

        (i=1,2,...,n)可由下列递推公式算出：

      t_k的选择对收敛速度影响较大，取t_k为二阶矩阵

的接近于的那个特征值，即

t_k =

式中

       2° 二分法 设A为n阶对称三对角矩阵（如（1）式），对任意l ，设序列

q₁(l )=d₁?l

q_i(l )=

中q_i(l )<0的个数为N(l )(在这些关系式中，对于某些i，如果q_i-1(l )=0，则只需用适当小的数代替即可），则N(l )等于矩阵A 的小于l 的特征值的个数.

假定矩阵A的第k个特征值l_k(l₁≤l₂≤… ≤l_k≤…≤l_n) 在区间[u,]中，令 ,当N(r₁)≥k时，则l _kÎ [u, r₁]；当N(r₁)<k时，则l_kÎ [ r₁,];…依此类推，m步之后，l _k包含在宽度为的区间中.m充分大时，便可得到所求的特征值.