二、行列式

1. 行列式及其拉普拉斯展开定理

[n阶行列式] 设

是由排成n阶方阵形式的n²个数a_ij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和

式中k₁,k₂,...,k_n是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k₁,k₂,...,k_n取遍1,2,...,n的一切排列求和，那末数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为的项的和，而其中a₁₃a₂₁a₃₄a₄₂相应于k=3,即该项前端的符号应为

(－1)³.

若n阶方阵A=（a_ij）,则A相应的行列式D记作

D=|A|=detA=det(a_ij)

       若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.

       [标号集] 序列1,2,...,n中任取k个元素i₁,i₂,...,i_k满足

1≤i₁<i₂<...<i_k≤n                                                      (1)

i₁,i₂,...,i_k构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集（参见第二十一章，§1，二），C(n,k)的元素记作σ,τ,..., σ∈C(n,k)表示

σ={i₁,i₂,...,i_k}

是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j₁,j₂,...,j_k}∈C(n,k),则σ=τ表示i₁=j₁,i₂=j₂,...,i_k=j_k.

       [子式 · 主子式 · 余子式 ·代数余子式]

       从n阶行列式D中任取k行与k列（1≤k≤n－1）,由这k行与k列交点处的元素构成的k阶行列式称为行列式D的k阶子式，记作

, σ,τ∈C(n,k)

       如果所选取的k行k列分别是第i₁,i₂,...,i_k行与第i₁,i₂,...,i_k列，则所得到的k阶子式称为主子式.即当σ=τ∈C(n,k)时，是主子式.

       从行列式D中划去k行（σ）与k列（τ）后得到的n－k阶行列式称为子式的余子式，记作.

       如果σ={ i₁,i₂,...,i_k}，τ={ j₁,j₂,...,j_k}，则称

为子式的代数余子式.

       特别，当k=1时，σ={i}，τ={j},子式就是一个元素a_ij, a_ij的余子式记作，a_ij的代数余子式记作A_ij,即

且有                                                                           （2）

或                                                                              （3）

       [拉普拉斯展开定理] 在n阶行列式D中任取k行（1≤k≤n-1）,那末包含于所选定的这些行中的所有k阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D，即对任意σ∈C(n,k)，1≤k≤n-1，

                                                 （4）

式中∑表示对标号集C(n,k)中的所有元素求和.

拉普拉斯定理中是对行进行的，对列有类似结果

                                                                                                   （5）

此外还有

                                                               （6）

                                                                             （7）

显然（2），（3）分别是（6），（7）的特例.

      [拉普拉斯恒等式] 设A=(a_ij)_{m´ n},B=(b_ij) _{m´ n}(m≥n),又设l=,A的所有n阶子式为U₁，U₂，...，U_l，B的相应的n阶子式为V₁,V₂,...,V_l,则

det(A^τB)=