第四章 矩阵·行列式·线性方程组

 

本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.

在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外，还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.

§1 矩阵与行列式

 

一、矩阵及其秩

       [矩阵与方阵]数域（第三章，§1）F上的m×n个数a_ij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)按确定的位置排成的矩形阵列，称为m×n矩阵.记作

A=

其中横的一排叫做行，竖的一排叫做列，a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素，矩阵A简记为(a_ij)或(a_ij)_{m´ n}.

n×n矩阵也称为n阶方阵，a₁₁，a₁₂，…，a_nn称为矩阵A的主对角线的元素.

行数m与列数n都是有限的矩阵，称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.

[矢量的线性相关与线性无关]对于n维空间的一组矢量x₁，x₂，…，x_m，若数域F中有一组不全为零的数k_i (i=1，2，…，m)，使

k₁x₁+k₂x₂+…+k_mx_m=0

成立，则称这组矢量在F上线性相关，否则称这组矢量在F上线性无关.

矢量组的线性相关性的讨论：

1° 矢量组x₁，x₂，…，x_m线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量x_i可用其他矢量的线性组合来表示，即

2° 包含零矢量的矢量组一定线性相关.

3° 矢量组x₁，x₂，…，x_m 中，若有两个矢量相等：x_i=x_j(i≠j),则该矢量组线性相关.

4° 若矢量组x₁，x₂，…，x_r 线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若矢量组x₁，x₂，…，x_m 线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.

5° 若x₁，x₂，…，x_r线性无关，而x₁，x₂，…，x_r+1线性相关，则x_r+1可以表示为x₁，x₂，…，x_r的线性组合.

[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩] 由矩阵任一行的元素构成的n维矢量称为行矢量，记为

aⁱ=(a_i1,a_i2,...,a_in) (i=1,2,...,m)

由矩阵任一列的元素构成的m维矢量称为列矢量，记为

(j=1,2,...,n)

式中t 表示转置，即行（列）转换为列（行）.

若矩阵A的n个列矢量中有r个线性无关（r≤n），而所有个数大于r的列矢量组都线性相关，则称数r为矩阵A的列秩.类似可定义矩阵A的行秩.

矩阵A的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作rank A=r.

矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式（见本节，二）的最大阶数.