4. 某些重要不等式

[算术平均值与几何平均值不等式]

1^o 几个数的算术平均值的绝对值不超过这些数的均方根，即

等号只当时成立.

2^o 设a₁, a₂, L , a_n均为正数，则它们的几何平均值不超过算术平均值，即

等号只当时成立.

3^o 对n个正数a₁, a₂, L , a_n的加权平均值，有

等号只当a₁=a₂=L =a_n时成立.

4^o 设a₁, a₂, L , a_n为正数，又，则有

[柯西不等式] 设a_i, b_i(i=1, 2, L , n)为任意实数，则

等号只当时成立.这个不等式表明一个角(取实数值)的余弦值总是小于1的，或者说二矢量内积小于二矢量长度之积.

[赫尔德不等式]

1^o 设a_i, b_i, L , l_i(i=1, 2, L , n)为正数，又a , b , L , l 为正数，且a +b +L +l =1，则

等号只当时成立.

2^o 设a_i, b_i (i=1, 2, L , n)为正数，又k>0, k¹ 1, 与k共轭，即，或，则

等号只当时成立.

[闵可夫斯基不等式] 设a_i, b_i>0 (i=1, 2, L , n)，又r>0, r¹ 1, 则

等号只当时成立.当r=2时，此不等式也称为三角形不等式，它表明三角形两边之和大于第三边.

[契贝谢夫不等式] 设a_i>0, b_i>0 (i=1, 2, L , n).若a_1£ a_{2£ L £} a_n, 且b_1£ b_{2£ L £} b_n, 或a_1³ a_{2³ L ³} a_n, 且b_1³ b_{2³ L ³} b_n, 则

若a_1£ a_{2£ L £} a_n而b_1³ b_{2³ L ³} b_n，则

[詹生不等式] 设a_i>0 (i=1, 2, L , n)，且0<r£ s，则

[伯努利不等式] 设a>1，自然数n>1，则

特别令，则